Материал: Проблемы обеспечения надежности и качества приборов, устройств и систем

Задачи, связанные с исследованием обратных матриц, возникают на практике при оценке неизвестного входного сигнала (элемента пространства входов) по фиксируемому выходному сигналу (элементу пространства выходов) и известной матрице , описывающей функционирование системы. Очевидно, что эта задача для конечных матриц малой размерности легко решается аналитически методами линейной алгебры. Для конечных матриц больших размерностей задача решается численно с помощью ЭВМ, но численное обращение матрицы не дает уверенности в точности полученных результатов из-за неизбежных округлений. Для бесконечных матриц такая задача не имеет точного решения.

Рассмотрим величину и введем исследуемые классы матриц:

1. - класс диагональных матриц

;

2. - класс с экспоненциальным убыванием элементов при удалении от главной диагонали

,

3. - класс с суммируемыми диагоналями

.

Для введенных классов матриц исследуется вопрос о структуре обратных для обратимых матриц [1, 2].

Теорема 1. Пусть матрица обратима, тогда для элементов обратной матрицы справедливы следующие оценки

,

где , .

Теорема 2. Пусть обратимая матрица принадлежит классу , тогда для элементов обратной матрицы справедливы следующие оценки

,

где .

Теорема 3. Пусть - обратимая матрица из класса , тогда обратная матрица также принадлежит классу и имеет место оценка

,

где .

Широкий круг физических и экономических задач сводится к нахождению собственных значений и собственных векторов матрицы. Так, например, в квантовой механике собственные значения – это уровни энергии частицы, а собственные векторы – волновые функции. Во всех явлениях неустойчивых колебаний и вибраций собственные значения играют роль частоты колебаний, а формулы для колебаний указывают собственные векторы. В экономических исследованиях собственные вектора используются, например, при визуализации и классификации многомерных данных, при определении главных факторов системы многомерных признаков. Для конечных матриц существует множество методов для отыскания собственных значений и собственных векторов. Эти результаты не могут автоматически быть перенесены на бесконечный случай. Заметим, что вычисление собственных значений и собственных векторов бесконечных матриц является очень сложной проблемой, практически не имеющей точного решения, можно только асимптотически оценить собственные значения и собственные векторы и выписать приближения к ним. Вопросы приближенного нахождения этих характеристик с помощью метода подобных операторов [2] и рассматриваются далее.

Пусть , , и - простое изолированное значение матрицы С, отвечающее собственному вектору е. Определим проекторы и формулами , и матрицу S равенствами , .

Литература

1. Азарнова Т.В. Оценки элементов обратных матриц для некоторых классов линейных ограниченных операторов.// Изв. ВУЗов. Математика. 1998. № 3 (430). С. 74-77.

2. Баскаков А.Г. Теорема о расщеплении и некоторые смежные вопросы аналитической теории возмущений // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. Т. 50. № 3. С. 435-458.

3. Ускова Н.Б. Об оценках спектральных разложений собственных векторов некоторых классов возмущенных дифференциальных операторов // Диф. ур. 1997. Т.33. № 4. С. 564-567.

Получено 24.05.01 Воронежский государственный

университет

УДК 681.322

О. Ю. Макаров, С. М. Иванов, А. М. Прилуцкий

МОДЕЛЬ ОЦЕНИВАНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ СРЕДСТВ ИЗЛУЧЕНИЯ

МАСКИРУЮЩИХ СИГНАЛОВ ДЛЯ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ, ПЕРЕДАВАЕМОЙ

В ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ

Предложена модель оценивания эффективности технических средств активной защиты информации, основанная на методах оценки вероятности совпадения функционально-сопряженных стационарных рекуррентных случайных импульсных потоков Пальма, которая позволяет получить адекватную оценку возможностей средств несанкционированного перехвата излучений по частотно-пространственному поиску сигналов радиоэлектронных систем в условиях применения средств активной защиты информации. В обобщенном виде приведены соотношения для вычисления вероятности несанкционированного перехвата излучений за заданное время

Средства излучения маскирующих сигналов предназначены для активной защиты информации (АЗИ), передаваемой в телекоммуникационных системах, от утечки по техническому каналу «излучающее радиоэлектронное средство (РЭС) – трасса распространения сигнала – средство несанкционированного перехвата излучений (НПИ)». Маскирующие сигналы, излучаемые данными средствами АЗИ на частотах работы телекоммуникационных систем синхронно с передачей защищаемой информации, приводят к существенному снижению возможностей средств НПИ по анализу передаваемых сообщений и измерению охраняемых параметров сигналов. Одним из основных элементов методического обеспечения оценивания эффективности средств АЗИ являются математические модели частотно-пространственного поиска сигналов РЭС средствами НПИ в условиях применения средств АЗИ. Данные модели базируются на методах теории случайных импульсных потоков (СИП) [1], с помощью которых строится формализованное описание динамики процессов выхода в эфир РЭС и средств АЗИ, а также просмотра рабочей частоты и (или) пространственной области размещения РЭС средством НПИ. Существующие на сегодняшний день модели совпадения СИП (например, изложенная в [1]) основаны на описании процессов поиска потоками Эрланга. Присущие данному классу модели СИП жесткие ограничения и допущения не позволяют учесть реальные вероятностно-временные характеристики (ВВХ) функционирования РЭС, средств НПИ и средств АЗИ, что приводит к существенным (до 30-40 %) погрешностям в оценке эффективности средств АЗИ. Кроме того, в существующих моделях не рассматривалась модель совпадения трех СИП (два из которых являются функционально-сопряженными), имеющая место при использовании рассматриваемых средств АЗИ.

Целью данной статьи является доработка известных моделей на случай совпадения трех СИП с ограниченным последействием: функционально-сопряженных потоков излучений РЭС и излучений средств АЗИ, а также потока просмотра рабочей частоты (пространственной области размещения) РЭС средством НПИ.

В основу данной модели положены следующие допущения о характере рассматриваемых потоков:

1. Потоки РЭС и средства НПИ являются стационарными, независимыми рекуррентными потоками Пальма, что не противоречит существу реальных процессов [2] и позволяет моделировать потоки с различной степенью последействия, а также использовать различные аналитические распределения для аппроксимации ВВХ функционирования РЭС, средств АЗИ и НПИ.

2. Энергетические характеристики средств АЗИ выбраны таким образом, что вероятность добывания информации средствами НПИ на фоне маскирующих сигналов средств АЗИ считается пренебрежимо малой с точки зрения практических задач и в рамках данной модели не учитывается.

Теорема 4 [3]. Пусть норма матрицы В удовлетворяет условию

,

тогда собственное значение матрицы А и соответствующий собственный вектор f могут быть найдены с помощью следующего итерационного процесса:

, ,

,

, , , .

3. Потоки излучений РЭС и средства АЗИ являются функционально-сопряженными, т.е. поток излучений средства АЗИ «накладывается» на поток излучений РЭС с некоторой задержкой по времени, определяемой временем реакции средства АЗИ на начало и окончание излучения РЭС.

Вследствие функциональной сопряженности потоки РЭС и средства АЗИ формируют один суммарный поток «РЭС+АЗИ», процесс совпадения которого с потоком средства НПИ и является предметом данной модели.

Схема формирования потока «РЭС+АЗИ» и совпадения его с потоком средства НПИ приведена на рисунке. Все временные характеристики потоков, приведенные на данном рисунке, являются случайными величинами, которые описываются плотностями распределения вероятности (ПРВ) и функциями распределения (ФР). Под совпадением рассматриваемых в модели СИП понимается случайное событие, состоящее в совпадении фрагментов импульсов суммарного потока «РЭС+АЗИ», содержащих только сигналы РЭС, с импульсами потока средства НПИ на время, достаточное средству НПИ для получения информации, находящейся в излучении РЭС (т.е. перехвата передаваемого сообщения или измерения охраняемых параметров сигнала).

Выходным показателем модели является вероятность несанкционированного перехвата излучений РЭС средством НПИ за заданное время t, соответствующая вероятности появления на заданном интервале времени [0, t] хотя бы одного импульса совпадения потока РЭС и потока средства НПИ.

В основу данной модели положены общие методы аналитического описания процессов совпадения СИП [1, 2], доработанные в части учета свойств потоков Пальма. В связи с этим определение выходного показателя модели осуществляется в три этапа:

Этап 1. Определение вероятности совпадения суммарного потока «РЭС+АЗИ» и потока средства НПИ.

Этап 2. Определение ВВХ (ПРВ длительности импульса и ПРВ паузы между импульсами) потока совпадений.

Этап 3. Определение вероятности появления хотя бы одного импульса потока совпадений на заданном отрезке времени [0, t].

Вероятность совпадения суммарного потока «РЭС+АЗИ» и потока средства НПИ определяется по следующему выражению:

(1)

где - вероятность энергетического обнаружения сигналов РЭС при отсутствии маскирующего сигнала средства АЗИ средствами НПИ, определяемая по известным методикам (например, изложенным в [3]);

- вероятность события, состоящего в совместном выполнении следующих условий: передний фронт импульса потока средства НПИ попал в основание фрагмента импульса суммарного потока «РЭС+АЗИ», содержащего только излучения РЭС; импульс потока средства НПИ, увеличенный на t_а, закончится раньше данного фрагмента импульса суммарного потока;