Материал: Проблемы обеспечения надежности и качества приборов, устройств и систем

Лемма 6. Пусть x(t) – нетривиальное решение однородного уравнения Lx=0 на , удовлетворяющее условиям (3) и (4) в точках и . Тогда функции x(t) и знакопостоянны на и . Функция может иметь только изолированные нули.

Следовательно, функция знакопостоянна на , а так как , то на .

Таким образом, функция Грина G(t,s) задачи (1)-(4) определена и непрерывна по совокупности переменных на каждом из открытых прямоугольников , i,j=0,1,…,n, при каждом фиксированном s из (a,b), удовлетворяет краевым условиям (2), (3) и внутренним условиям (4), неотрицательна на и положительна внутри .

Исследуем поведение функции Грина G(t,s) при . Обозначим через - линейные функционалы, соответствующие условиям (2)-(4)

.

Применив к функциям и функционалы , получим

,

(8)

. (9)

Таким образом, функции , удовлетворяют однородному уравнению при , краевым условиям (2),(3), условиям (4) в точках и условиям (8) или (9) соответственно в точке . Так как функция G(t,s) положительна (a,b), , то функции неотрицательны на этом множестве, более того, можно показать, что они положительны всюду на []. В силу леммы 3 , ( , ) на . Покажем теперь, что функции меняют знак в точке . Для этого предположим противное и, воспользовавшись леммой 2, получим противоречие с краевым условием (3). Следовательно, ( ). Тогда из условий (8) или (9) соответственно получим, что ( ). Поэтому мы находимся в условиях леммы 6, откуда заключаем, что функции и знакопостоянны на и . А так как функции не обращаются в нуль на , то положительность на [] доказана.

Установленные знаковые свойства решений, функции Грина и ее «предельных срезов» позволяют доказать осцилляционные спектральные свойства. Воспользовавшись условиями (8), (9) и свойствами функции Грина, можно доказать аналог теоремы 3 ([2]) и рассмотреть случай, не включенный в нее. Таким образом показывается положительность ассоциированных ядер на «грубой диагонали». Используя теорему 1, леммы 5 и 2, доказывается справедливость леммы 5 ([2]) для задачи (1)-(4), а следовательно, и неотрицательность ассоциированных ядер на симплексах полуупорядоченных наборов. Выполнение обоих свойств гарантирует осцилляционность спектра, соответствующей (1)-(4) спектральной задачи.

Литература

1. Барковский Ю.С. Спектральные свойства одного класса краевых задач / Ю.С. Барковский, В.И. Юдович // Матем. сборник. 1981. Т. 114 (156). № 3. С. 438-450.

2. Шурупова И.Ю. Осцилляционные спектральные свойства одной разрывной задачи // Труды III Международной конференции женщин-математиков. Воронеж, 1995. Вып. 1. С. 196-201.

3. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука. 1969. 528 с.

Получено 31.05.2001 Воронежская государственная

технологическая академия

УДК 517.9

А.Г. Баскаков, Т.В. Азарнова, Н.Б. Ускова^

ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ МЕТОДАМИ

ТЕОРИИ БЕСКОНЕЧНЫХ МАТРИЦ

В работе рассматривается вопрос возникновения бесконечных матриц в связи с исследованием сложных систем и изучаются спектральные свойства некоторых классов бесконечных матриц

При изучении различных систем (физических, экономических и т.д.) компактной формой представления информации, описывающей различные аспекты функционирования системы являются матрицы. Они удобны как для теоретических исследований, так и для практической обработки информации на ЭВМ. Функциональное назначение матриц часто отражается в их названии: матрица прямых затрат (задачи межотраслевого баланса), матрица переходных вероятностей (задачи массового обслуживания), порождающие матрицы кода (задачи кодирования) и т.д. Под матрицей А в общем случае понимается некоторая функция (отображение из декартова произведения в множество комплексных чисел). Значение данной функции на упорядоченной паре обозначают символом . Если множество G является конечным, то матрицы называются конечными, в противном случае бесконечными. Наиболее изученными в современной литературе являются конечные матрицы. Однако, очевидно, что для описания функционирования реальных систем конечных матриц бывает недостаточно и, кроме того, размеры конечных матриц для реальных задач могут быть большими. В 1968 году типовой практической задачей считалась задача с числом линейных ограничений порядка 5000, систему порядка 10000 или более оценивали как "большую". В 1978 году появились задачи с 2500000 млн. ограничений, а в 1981 году размеры этой задачи выросли до 6000000 уравнений. Матрицы конечной размерности не вполне подходят для того, чтобы с их помощью изучать задачи с растущей размерностью. Изучение конечных и бесконечных матриц - это с одной стороны два взаимосвязанных процесса, которые являются мощным средством друг для друга. С другой стороны, есть типы проблем, решаемых при помощи бесконечных матриц, которые имеют совершенно другой характер, чем проблемы, решаемые с помощью конечных матриц. Например, применение бесконечных матриц в теории Гейзенберга-Дирака, относящейся к квантовой механике.

Пример 1. Рассмотрим бесконечные матрицы переходных вероятностей, которые возникают при изучении систем массового обслуживания. Под системами массового обслуживания понимаются системы, осуществляющие многократное выполнение однотипных операций, например, банки, телефонные станции, оптовые магазины, страховые компании и т.д. В данные системы в случайные моменты времени могут поступать требования. Часть требований начинает обслуживаться, часть поступает в очередь. Под состоянием системы в момент времени будем понимать число требований в системе в момент времени (в сумме и на обслуживании, и в очереди). Состояние системы есть дискретная случайная величина, которая характеризуется распределением вероятностей

где - это вероятность того, что в системе требований. Зная вероятностный вектор

для момента времени , можно определить характеристики эффективности функционирования системы такие как абсолютная пропускная способность, среднее число требований в очереди, среднее время ожидания требования в очереди и т.д. Для определения вероятностных векторов в будущие моменты времени большую роль играют матрицы переходных вероятностей , для которых G - возможные состояния системы и - вероятность перехода из -го состояния в -е состояние за время . Если в систему могут поступать требования разных типов, например, обычные и привилегированные, то состояние системы нужно характеризовать двумерным вектором , где - число обычных требований в системе в момент времени , а - число привилегированных требований.

Пример 2. При анализе сигналов и систем возникает ряд задач, связанных с исследованием случайных функций времени . В процессе наблюдения реализуется одна из бесконечного множества потенциально возможных функций . правило, при описании сигналов наблюдаемая функция периодически дискретизируется в некоторые моменты времени . Таким образом, возникает временной ряд , представляющий случайную функцию времени . Отметим, что каждая компонента вектора является случайной величиной. В вероятностном анализе сигналов и систем большое значение имеет корреляционная матрица, каждый элемент которой описывает корреляцию между случайными величинами и . При этом, если дискретизация проходит в конечное число моментов времени, то корреляционная матрица имеет конечную размерность . Если же число моментов времени, в которые происходит дискретизация, не ограничено, то корреляционные матрицы бесконечны. В более сложных ситуациях в каждый момент времени снимаются реализации нескольких случайных функций времени. При этом вектор имеет вид

.

В этом случае также ставится задача изучения корреляционной матрицы. Ситуации, в которых возникает необходимость в такой корреляционной матрице, связаны с использованием антенных решеток и набора сейсмических детекторов. В таких системах шумовые сигналы в каждом элементе антенны или сейсмического детектора могут принадлежать к различным, но коррелированным процессам.

Отметим, что любая линейная система уравнений, моделирующая поведение системы может быть записана в, так называемой, матричной форме

,

где и векторы. Вектор описывает вход системы (например, множество параметров системы), а вектор - ее выход. Говорят, что векторы принадлежат пространству входов, а векторы пространству выходов.