Материал: Прогрессии

56

3, 11, 27, 59, 123, . . . арифметико-геометрической прогресси-

ей? Если да, найдите значения и .

Решение. Для арифметико-геометрической прогрессии должны выполняться условия:

Решение. Запишем условия:

14 = 42 = 3 + 12 = 18 = 6.

Однако 4 ̸= + 3 , т. е. 185 ̸= 6 + 60 · 3. Ответ: не является.

Найдем формулы для -го члена и суммы первых членов

арифметико-геометрической прогрессии. Для этого к обеим частям равенства +1 = + прибавим −1 :

Пример 64. Найти седьмой член прогрессии, первый член 108

которой равен 5, разность = 3 и знаменателеь = 2.

58

Решение. Применим первую из формул (1):

Ответ: 233.

Параметры и арифметико-геометрической прогрессии можно выразить из равенств:

2 2 также найдем точки пересечения средней линии с диагоналями 2 и 2: соответственно 3 и 3. Осно- вание трапеции 3 3 равно | 3 3|= 3 (рис. 6б). Про- должив этот процесс, получим последовательность , где

= 1, 2, 3, . . . . Найти lim , т. е. предел последовательно-

→∞

сти верхних оснований трапеций.

Решение. Положим 1 < . Так как 2 2 – средняя ли-

Рис. 6. Последовательность трапеций

ния трапеции, 2 2 – средняя линия треугольника 1 , а 2 2 – средняя линия треугольника 1 1, следователь-

но, | 2 2|= 12 и | 2 2|= 12 1. | 2 2|= | 2 2|−| 2 2|.

60

Аналогично для трапеций 2 2, 3 3 и т. д. После- довательность

определяется первым членом 1 и рекурентным отношени- ем +1 = 12 − 12 . Таким образом, последовательность { } является арифметико-геометрической прогрессией с первым членом 1, разностью = 12 и знаменателем (−12 ). Применив формулу -го члена (1), получим:

из равенств (3): 2 = 12 1 − 12 . На каждом следующем шаге будет иметь место отношение < , т. е. верхнее основание трапеции будет меньше нижнего. Если нижнее основание втрое больше верхнего, т. е. = 3 1, то = 3 = 1 для всех

= 1, 2, 3, . . . .

Ответ: 3.