Материал: Прогрессии

46

после того как деньги будут потрачены, например на приобретение какого-то товара, они снова окажутся на чьемто счету в коммерческом банке. Миллион возвращается в банк, но банк не может снова одолжить кому-нибудь весь миллион, поскольку существует обязательный резерв, величину которого устанавливает Центральный банк. В нашей стране он составляет 20 % = 0.2. Таким образом, 0.2 млн зарезервированы и банк выдаст новые кредиты только из оставшихся 0.8 млн. Эти деньги также вернутся в банк, и он сможет выдать лишь 0.8 · 0.8 = (0.8)2. Продолжая про-

цесс далее, мы придем к бесконечной сумме:

1 + 0.8 + (0.8)2 + (0.8)3 + . . . = 1 = 5. 1 − 0.8

Ответ: 5 млн руб.

Однако следует признать, что выдать кредиты на сумму в 5 млн руб. банку не удастся, поскольку за конечное время деньги не успеют совершить бесконечное число оборотов. Но если за короткий срок деньги обернутся 20 раз, банк сможет выдать кредиты на 4 млн 954 тыс. руб. Итак, 5 – это предел, к которому можно подойти сколь угодно близко, но достичь который нельзя.

105 Пример 48. Жук движется со скоростью 1 см/с по следующей траектории (рис. 5): сначала обходит квадрат со стороной в 1 см 1 1 1 1, затем по отрезку 1 2 переходит на квадрат с вдвое меньшей стороной 2 2 2 2, обходит его, по отрезку 2 3 переходит на следующий квадрат и так

до бесконечности. Сторона каждого следующего квадрата вдвое меньше предыдущего. За какое время жук обойдет

все квадраты? √ Решение. Длина участка 1 1 1 1 1 2 равна 4 + 42 .

Рис. 5. Кривая 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 . . . совершает бесконечное число оборотов вокруг центра

Длина каждого следующего участка маршрута вдвое мень-

√

ше предыдущего. Вынеся за скобки общий множитель 4+ 42 , получим длину всего маршрута:

Решение. По виду последовательности можно заключить,

48

Ответ: 518.4.

105 Пример 50. Найти сумму членов бесконечно убываю-

щей геометрической прогрессии, если третий ее член 3 = 3, а шестой 6 = 19 .

Решение:

1= 271 − 13 = 40.5.

Ответ: 40.5.

105 Пример 51. Сумма первых пяти членов геометрической

прогрессии 5 = 31, а сумма всей прогрессии = 32. Найти первый член и знаменатель прогрессии.

ской прогрессии равна 9, а сумма квадратов ее членов 40.5.

Найти первый член и знаменатель прогрессии.

Решение. Последовательность, составленная из квадратов членов геометрической прогрессии также будет геометрической прогрессией, первый член которой равен квадрату первого члена исходной, а знаменатель – квадрату знаменателя. Поэтому равенства для их сумм будут иметь вид

Разделим левую и правую части второго уравнения соответственно на левую и правую части первого:

50

Ответ: 1 = 6, = 13 .

105 Пример 54. Можно ли в геометрической прогрессии между каждыми двумя последовательными членами вставить по чисел так, чтобы новая последовательность также была геометрической прогрессией?

Решение. Надо взять прогрессию с тем же первым членом

√

1 и знаменателем, равным +1 . Ответ: можно.

Например, если в исходной прогрессии 1 = 3, = 16 и требуется между каждыми соседними членами вставить по

3 числа, то в новой прогрессии следует положить знамена-

√

тель 4 16 = 2. Также последовательность членов прогрес-

сии с номерами , + , + 2 , + 3 , . . ., где и –

натуральные числа, является геометрической прогрессией с первым членом = 1 −1 и знаменателем . Интересно, что номера выбранных членов исходной прогрессии образуют арифметическую прогрессию. Так, если в прогрессии

3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768, 1 536, 3 072, 12 288, 24 576, . . .

спервым членом 1 = 3 и знаменателем = 2 взять члены

сномерами 2, 6, 10, . . ., мы получим прогрессию с первым членом 6 и знаменателем 4 = 16: 6, 96, 1 536, . . . .