Материал: Прогрессии

Следующий пример покажет, как формальное применение инструмента может привести к нелепому результату.

Пример 67. Дан остроугольный треугольник 1 1 1, 108 вписанный в некоторую окружность (рис. 7). Из вершины

Рис. 7. Последовательность треугольников

угла 1 опустим высоту на противоположную сторону и обозначим точку пересечения с окружностью продолжения вы- соты как 2. Аналогично точки пересечений с окружностью продолжений высот, опущенных из точек 1 и 1, обозначим как 2 и 2. Таким образом, получим новый треугольник2 2 2. Как видно на рис. 7, он тоже остроугольный, т. е. все его углы острые. Рассмотрим ̸ 2 = ̸ 2 2 1+̸ 1 2 2. Поскольку углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, рав- ны, ̸ 2 2 1 = ̸ 2 1 1 и ̸ 1 2 2 = ̸ 1 1 2. Основания

62

высот отмечены буквами , и . ̸ 2 1 1 – острый угол прямоугольного треугольника 1 1, другой острый угол которого ̸ 1. Следовательно, ̸ 2 2 1 = ̸ 2 1 1 =

= 2 −̸ 1. Аналогично ̸ 1 1 2 – острый угол прямоуголь-

ного треугольника 1 1, другой острый угол которого

̸ 1, и ̸ 1 2 2 = ̸ 1 1 2 = 2 − ̸ 1. Следовательно, ̸ 2 = −2̸ 1. Точно такое же равенство имеет место и для

̸ 2 и ̸ 2. Вернемся к рис. 7. Если повторить все указанные выше построения для треугольника 2 2 2, то придем к треугольнику 3 3 3. Причем

Можно подумать, что мы имеем дело с арифметикогеометрической прогрессией, разность которой = , а знаменатель = −2. Тогда углы любого треугольника из последовательности находятся по первой из формул (1) на с. 57:

Так ли это?

Решение. Если все углы исходного треугольника 1 1 1

равны 3 , т. е. треугольник правильный, в последовательно- сти будут бесконечно чередоваться два правильных

треугольника, при наложении образующих «звезду Давида»

(гексаграмму). Если же хотя бы один угол окажется отличным от 3 , то соответствующее выражение в круглых скоб- ках перед (−2) −1 в равенствах (4) будет отлично от нуля

и его произведение на (−2) −1 будет принимать сколь угодно большие по модулю поочередно положительные и отрицательные значения. Но все приведенные в формулировке задачи рассуждения справедливы только для остроугольного треугольника. А кто сказал, что для некоторого тре- угольник не окажется тупоугольным? Например, если углы треугольника 1 1 1 равны соответственно 50 , 60 и 70 , то углы треугольника 2 2 2 – 80 , 60 и 40 , а углы 3 3 3 – 20 , 60 и 100 . Здесь ̸ 3 тупой.

Ответ: на некотором этапе вычислений по первой из фор- мул (1) треугольник перестанет быть остроугольным и равенства (4) не будут выполняться.

Пример 68. Углы шестиугольника образуют арифметико- 108

геометрическую прогрессию со знаменателем = 2. Найти все углы шестиугольника, если наибольший угол равен 160 . Решение. Поскольку сумма углов шестиугольника равна

64

(6 − 2) · 180 = 720 , из формул (1) на с. 57 следует:

При известных значениях 1, и значения углов 2, 3, 4, 5 можно найти непосредственно по формуле

где = 2, 3, 4, 5, или через реккурентное отношение

= −1 + .

Ответ:

{4 40043 , 4 48043 , 4 64043 , 4 96043 , 5 60043 , 160 }.

Задачи на применение арифметико-геометрических прогрессий в финансовых вычислениях вы найдете на с. 94.

Глава 3. Финансовые вычисления

В этой главе речь пойдет об одной из важнейших областей приложения теории прогрессий, историческое название которой финансовые вычисления. Но сначала мы должны познакомиться с некоторыми основными понятиями финансовой математики. Кредитор, предоставляя кому-либо во временное пользование деньги или другую собственность, на некоторое время лишается возможности использовать эти активы в личных интересах. К тому же средства труда подвержены износу, а деньги обесцениваются по причине инфляции. Наконец, кредит всегда связан с риском несвоевременного возврата и даже невозврата. Поэтому услуги кредитора нуждаются в вознаграждении в виде процентов. Пусть– первоначальная сумма долга, тогда в конце срока сдел-

ки кредитор должен получить некоторую сумму = + ,

где – проценты. Ниже мы рассмотрим методы начисления

процентов.

§ 3.1. Простые проценты

36 65 Как определить размер причитающегося кредито-

ру вознаграждения? Если прокат одной лодки на лодочной станции стоит 100 руб. в час, то большинство сочтет спра-

ведливой плату в размере 200 руб. за 2 часа пользования

одной лодкой, а также 200 руб. за 1 час проката 2 лодок.