Материал: Прогрессии

52

нов геометрической прогрессии образуют арифметическую прогрессию (с. 32). Если числа , и являются членами некоторой геометрической прогрессии, то найдется еще бесконечное множество прогрессий, членами которых эти числа являются (пример на с. 42).

107 Пример 57. Члены прогрессии { (3)} – произведения со-

ответствующих членов бесконечно убывающих геометрических прогрессий { (1)} и { (2)}, где = 1, 2, 3, . . . . Известно, что суммы прогрессий (1) = 2 и (3) = 67 и (1)1 = (2)1 = 1. Найти (2).

Решение: (3)1 = (1)1 (2)1 = 1. Как следует из теории (с. 35), знаменатель третьей прогрессии должен равняться произведению знаменателей первых двух:

Ответ: (2) = 34.

107 Пример 58. Найти два различных корня уравнения 2 −

6 + = 0, если известно, что , 1, 2 и образуют геометрическую прогрессию.

Но по теореме Виета 1 2 = , следовательно, = 1 и уравнение принимает вид 2 − 6 + = 0. Тогда при = 1

окажется, что один из корней равен квадрату другого. Но сумма корней равна 6. Такие числа и 2 можно получить

из уравнения 2 + = 6 2 + − 6 = 0.

1)= −3 2 = 9. Числа {1, −3, 9, −27};

2)= 2 2 = 4. Числа {1, 2, 4, 8}.

Ответ: 1) −3 и 9; 2) 2 и 4.

полняется равенство ( 2 + 2)( 2 + 2) = ( + )2 тогда

и только тогда, когда , и образуют геометрическую

прогрессию.

Доказательство. Раскрыв скобки, после несложных преобразований придем к равенству 2 = . Последнее равен-

ство равносильно утверждению о том, что , и образуют

геометрическую прогрессию. Утверждение доказано.

Пример 60. Найти трехзначное число, цифры которого 107

образуют геометрическую прогрессию. Если из этого числа вычесть 792, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Если из цифры, выражающей

54

число сотен, вычесть 4, остальные цифры образуют ариф-

метическую прогрессию.

Решение. Переберем все трехзначные числа, образующие возрастающие геометрические прогрессии. Для этого будем рассматривать первые цифры, начиная с единицы, а знаменатель прогрессии – начиная с двух. Стационарную прогрессию сразу исключим, поскольку для нее не выполняется одно из условий задачи. Непосредственный перебор показывает, что таких чисел всего три: 124, 139 и 248. Каждому числу соответствует число, цифры которого образуют убывающую геометрическую прогрессию: 421, 931 и 842. Вычесть число

792 мы можем только из последних двух. Второе условие

выполняется лишь для числа 931.

Ответ: 931.

107 Пример 61. Пусть { } – геометрическая прогрессия.

Найти произведение ее первых членов, если известны

Решение. Произведение первых членов прогрессии

§ 2.3. Арифметико-геометрические прогрессии

36 65 Последовательность { }, первый член которой

выбирается произвольно, а каждый следующий получается из предыдущего по формуле

+1 = + , где = 1, 2, 3, . . . , и – константы,

называют арифметико-геометрической прогрессией. Такое определение корректно, поскольку при = 1 из про-

грессии { } мы получаем арифметическую, а при = 0 –

геометрическую прогрессию. Как и раньше, буквой будем

обозначать разность прогрессии, а – знаменатель. Про-

грессию однозначно определяют три параметра: 1, и .

Пример 62. Является ли последовательность 107