Материал: Прогрессии

72

по этой же дисконтной ставке. Заметим также, что отношение зависит от времени . При стремлении к нулю,

стремится к , а при стремлении к бесконечности – к ну-

109 Пример 72. Найти учетную ставку, эквивалентную про-

центной 20 % годовых, если время сделки = 0.5 года.

0.2 Решение: = 0.2 = 1 + 0.2 · 0.5 = 0.182.

Ответ: 18.2 %.

109 Пример 73. Найти процентную ставку, эквивалентную

дисконтной 18 % годовых, если время сделки = 0.3 года.

0.18 Решение: = 0.18 = 1 − 0.18 · 0.3 = 0.19.

Ответ: 19 %.

Учетная (дисконтная) ставка используется при проведении операций с векселями. В этом случае время сделки обычно рассчитывается по схеме 360/360. Вексель – это долговая расписка. Тот, кто выписывает вексель, – векселедатель, а тот, кто получает, – векселедержатель. Иногда векселедержатель может передать вексель третьему лицу как средство платежа за товар или услугу. Тогда вексель выполняет функцию денег (разумеется, если партнер готов принять платеж в виде векселя).

110 Пример 74. Леше не хватило 1 млн руб. на покупку

оборудования, и продавец Гоша согласился принять от него вексель по учетной ставке 24 % годовых. Леша обязался заплатить предъявителю векселя некоторую сумму денег

5 июня 2016 г. Какая сумма должна быть проставлена на векселе, если вексель выписан 25 ноября 2015 г.? Векселедержателю 14 февраля 2016 г. понадобились деньги, и один коммерческий банк согласился принять вексель по учетной ставке 22 % годовых. Какую сумму получит на руки Леша? Решение. Продолжительность «жизни» векселя

= 5 + 6 · 30 + 5 = 190 (дней) = 190360 = 0.528 (г.).

= (1 − ) = 1 − = 1 145.108 (тыс. руб.).

14 февраля 2016 г. до даты платежа оставалось

= 15 + 3 · 30 + 5 = 110 (дней) = 110360 = 0.306 (г.).1 = 1 145.108(1 − 0.22 · 0.306) = 1 068.019 (тыс. руб.).

Ответ: векселедатель Леша должен выписать вексель на

1млн 145 тыс. 108 руб. Векселедержатель Гоша 14 февраля 2016 г. сможет учесть в банке этот вексель и получить

1млн 68 тыс. 19 руб.

В этой задаче мы сначала нарастили исходную сумму, затем дисконтировали конечную. Разумеется, опустив целый ряд нюансов. В частности, вексель примут только от надежного векселедателя.

Иначе может возникнуть такая схема: Леша банкрот, его друг Гоша тоже. Леша выписывает Гоше вексель на 1 млн, а Гоша точно такой же вексель Леше. Затем оба идут в разные коммерческие банки, где учитывают свои векселя.

§ 3.2. Сложные проценты

65 83 А если бы кроме простых процентов никаких дру-

гих не было? Тогда могла возникнуть следующая ситуация. Вы положили рублей в банк под годовых процен-

тов. Сумма вклада каждый месяц увеличивается на вели- чину 12, т. е. по закону арифметической прогрессии. Ка-

кое желание появится у вас через год? Конечно, желание снять деньги со счета и опять положить их на счет под те же проценты. В этом случае проценты будут начисляться с суммы 1 = (1 + ), т. е. вклад будет расти по закону

(1 + )(1 + ), и уже в первый месяц нового года прирост

составит не 12, а (1 + )12 руб. Сложные проценты позволяют избежать подобных ситуаций. Начисление

по сложным процентам описывается формулой

где (1 + ) – множитель наращения. За год сумма вырастет

до (1 + ), за два года – до (1 + )2 и т. д. Таким об-

разом, вклад растет по закону геометрической прогрессии, нумерацию членов которой удобней начинать не с единицы, а с нуля. Тогда моменту открытия счета = 0 соответ-

ствует первый член прогрессии 0 = , годовой множитель

наращения (1+ ) будет знаменателем прогрессии. Как вид-

но на рис. 8, суммы, наращенные по простым и сложным процентам, совпадают при = 0 и = 1. При (0; 1) сумма, наращенная по простым процентам, больше суммы, наращенной по сложным; при > 1 наоборот. Поэтому банки предпочитают давать краткосрочные кредиты (до года) под простые проценты, а долгосрочные – под сложные.

Пример 77. Леша положил 10 000 руб. в сбербанк под 110

12 % годовых. Начисление процентов происходит 1 раз в год.

Какая сумма будет на счету у Леши через 5 лет? Решение. Через 5 лет на счету будет

= 10 000 · (1 + 0.12)5 = 17 623.