Материал: Прогрессии
76
Рис. 8. Начисление по простым и сложным процентам
Ответ: 17 623 руб.
111 Пример 78. Земля Манхэттена в настоящее время стоит около 100 млрд дол. «Белые люди»400 лет назад выкупили остров у индейцев за 24 дол. Под какие проценты индейцам надо было положить эти 24 дол. в банк, чтобы сегодня по-
лучить 100 млрд? |
|
|
|
|
Решение: |
|
|
1 |
|
24(1 + )400 = 1011 = ( |
1011 |
) |
|
|
400 |
|
|||
|
|
− 1 = 0.057. |
||
24 |
||||
Ответ: 5.7 %. |
|
|
|
|
Задача об изобретателе шахмат (см. с. 40) продемонстрировала, как быстро растет -й член геометрической прогрессии со знаменателем 2. Оказывается, не так уж медленно растет и -й член прогрессии со знаменателем 1.057.
ГЛАВА 3. ФИНАНСОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ |
77 |
|
|
В последней задаче мы упростили ситуацию. На самом деле Манхэттен купил в 1626 г. губернатор голландской колонии Питер Минунт за зеркала, стеклянные бусы и другие безделушки общей стоимостью 24 дол.
Начисление по сложным процентам может производиться не только один, но и несколько раз в год: 4 раза (ежеквартально), 12 раз (ежемесячно), практикуют даже ежедневное
начисление. Если начисление производится раз в год, то ставка за период равна и формула расчета суммы, наращенной за время , принимает вид
|
|
|
|
|
= (1 + |
|
) |
. |
(11) |
|
||||
Иначе говоря, значения накопленной суммы образуют гео- |
||||||||||
метрическую прогрессию = |
1 + |
|
|
|
, где = 0, 1, 2, . . . |
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
первый член и |
|
|
– зна- |
||||||
– период начисления, 0 = – |
|
1 + |
||||||||
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|||
менатель прогрессии. При одной и той же |
годовой процент- |
|||||||||
|
( |
|
) |
|||||||
ной ставке наибольший рост даст схема, при которой начислений в году больше. Так, если мы положим 100 000 руб. под
12 % годовых, то через 1 год получим, в случае начисления
процентов 1 раз в год, 112 000 руб., а в случае ежемесячного
начисления – 112 683 руб. Еще заметней станет расхожде-
ние через 3 года: 140 493 руб. по первой схеме и 143 077 руб.
по второй. Чтобы иметь возможность сравнить разные схемы начисления, введем и для сложных процентов понятие
78
эквивалентных ставок. Пусть 1 – ставка при начислении
процентов 1 раз в год, а – при начислении раз в год.
|
Будем говорить, что эти ставки эквивалентны, если в конце |
|||||||||||||
|
года обе схемы приведут к одинаковому результату в том |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 + 1) = (1 + |
|
) |
|||||||||
|
смысле, что |
1 |
|
|
||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
1; |
|
|
|
|
|
|
|
1 = (1 |
|
|
|
) |
− |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(12) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 . |
|
|
|
||
|
|
= |
√1 + 1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
− ) |
|
|||
111 |
Пример 79. |
Гоша хочет открыть счет в банке. Ему |
||||||||||||
предложили на выбор одну из двух схем: 2 = 12 % годовых
при начислении процентов 1 раз в полгода или 12 = 11.8 %
годовых при начислении 1 раз в месяц. На каком варианте |
|||||||
ему следует остановиться? |
|
|
|||||
Решение: |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 = 12 % 1 = |
( |
|
|
)12 |
|
|
|
1 + 2 |
|
− 1 = 0.1236 = 12.36 %; |
|||||
|
|
( |
|
|
) |
12 |
|
Ответ: Гоше следует |
|
|
11.8 % годовых |
||||
12 = 11.8 % 1 |
= |
1 + |
12 |
|
− 1 = 0.1246 = 12.46 %. |
||
выбрать вторую схему:
при ежемесячном начислении процентов.
А что произойдет, если устремить количество начислений в году к бесконечности? Используя известный предел
→+∞ (1 + |
1 |
|
|
|
) |
|
|||
lim |
|
|
|
= , |
ГЛАВА 3. ФИНАНСОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ |
|
|
79 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где ≈ 2.73 – постоянная Эйлера, найдем |
|
|
|
|
|
||||||||
→∞ |
( |
|
) |
|
· →∞ |
[( |
|
|
] |
|
|
· |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|||||||
lim |
|
1 + |
|
= lim |
|
1 + |
1 |
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мы пришли к еще одному виду процентов – непрерывным процентам. Процентную ставку непрерывных процентов называют силой роста. Обозначим силу роста греческой буквой . Таким образом, непрерывные проценты начисляются по формуле
= · . |
(13) |
Непрерывные проценты часто применяют в математических моделях экономических процессов. Простые и сложные проценты в этом случае можно рассматривать как приближение непрерывных. Действительно,
lim |
− 1 |
= 1 |
|
при малых значениях 1 |
. Тогда: |
→0 |
|
|
− ≈ |
|
|
1) при малых |
= (1 + − 1) ≈ (1 + ); |
|
|||
2) при малых = [(1 + − 1)] ≈ (1 + ) .
Если не оговорено противное, в дальнейшем, называя процентную ставку, будем подразумевать схему начисления по сложным процентам один раз в год. Для сложных процентов также определена операция дисконтирования, обратная
80
наращению: = (1 + ) = |
|
|
|
. |
|
(1 + ) |
||
111 |
Пример 80. |
Гоша расчитывает через 3 года получить |
||
|
300 000 руб. Какую сумму он может занять сегодня под 21 % |
|||
|
годовых, чтобы через 3 года полностью погасить долг? |
|||
|
Решение: |
300 000 |
|
|
|
|
|
||
|
300 000 = · |
(1 + 0.21)3 = |
|
= 169 342. |
|
(1 + 0.21)3 |
|||
Ответ: 169 342 руб.
Операция дисконтирования также может проводиться с ис-
пользованием дисконтной ставки, которая определяется из |
|||||||
соотношения |
1 |
= (1 − ) |
1 |
− |
1 |
= 1. В этом слу- |
|
|
|
|
|
||||
(1 + ) |
|
|
|||||
чае дисконтная ставка эквивалентна процентной : .
В отличие от случая простых процентов, дисконтная ставка по сложным процентам, эквивалентная заданной процентной, не зависит от времени сделки:
|
|
( = 1 + ) |
& ( = |
1 − ). |
(14) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Когда начисление по процентной ставке выполняется раз
в год, эквивалентные ставки получаются из равенства
1 + |
|
|
( |
− ) |
|
|
|
− |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
|
|
= 1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
= |
1 |
|
|
|||||
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( |
= 1 + / ) |
& |
( = 1 − / ). |
(15) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||