Материал: Прогрессии
86
следует договариваться, если обе стороны считают справедливой ставку = 12 % годовых?
Решение:
= 12 % = 0.12 |
= |
1 |
= |
1 |
= 0.8929. |
1 + |
1 + 0.12 |
Используя формулу (17), приведем поток платежей к моменту заключения договора аренды:
|
0 |
= |
1 − |
= 300 |
· |
|
· |
|
1 − 6 |
= 1 233.422. |
|
1 − |
1 − |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Ответ: Леше следует предложить 1 233 422 руб.
При выводе формул (16),(17) мы исходили из предположения, что платежи совершаются в конце некоторых периодов времени. Такие платежи называют постнумерандо. Но так бывает не всегда, и часто деньги требуют вперед. Соответствующие платежи называют пренумерандо. Для приведенного значения их потока нам придется внести небольшое изменение в формулу (17):
0 |
= |
−1 |
= (1 + + 2 |
+ . . . + −1) = |
1 − |
. (18) |
|||
∑ |
|||||||||
|
|
|
|
1 |
− |
|
|
||
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
113 Пример 86. Леша хочет арендовать сроком на 6 лет помещение под офис, которое ему предложили за 300 000 руб. в год. Причем каждый платеж вносится в начале года.
ГЛАВА 3. ФИНАНСОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ |
87 |
|
|
Он решил оплатить аренду сразу за 6 лет. О какой сумме ему следует договариваться, если обе стороны считают справедливой ставку = 12 % годовых?
Решение: |
1 |
|
1 |
|
|
= 12 % = 0.12 = |
= |
= 0.8929. |
|||
|
|
||||
1 + |
1 + 0.12 |
Используя формулу (18), приведем поток платежей к моменту заключения договора аренды:
|
0 |
= |
1 − |
= 300 |
· |
1 − 6 |
= 1 381.433. |
|
1 − |
1 − |
|||||||
|
|
|
|
Ответ: Леше следует предложить 1 381 433 руб.
Если платежи могут продолжаться сколь угодно долго, полезно рассматривать бесконечные потоки. Заметим, что
1 − = 1 − |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 + |
|
|
|
1 |
|
|
= |
|
|
|
= |
|
, |
|
= |
|
. |
||
1 + |
1 + |
1 − |
|
1 − |
|
||||||||
В формулах (17), (18) устремим количество платежей |
к |
|||||||
бесконечности. Тогда lim = 0 и |
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
для случая пренумерандо 0 = |
(1 + ) |
= |
|
|
+ ; |
(19) |
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
для случая постнумерандо 0 = |
|
|
. |
|
(20) |
|||
|
|
|
||||||
Пример 87. Леше предложили арендовать помещение 113
под офис за 300 000 руб. в год. Причем все платежи надо
88
вносить в конце года. Он хочет сразу выкупить помещение. О какой сумме ему следует договариваться, если обе стороны считают справедливой ставку = 12 % годовых?
Решение. Поток бесконечный постнумерандо.
0 = |
|
= |
300 |
= 2 500. |
|
0.12 |
Ответ: Леше следует предложить 2 500 000 руб.
113 Пример 88. Леше предложили арендовать помещение под
офис за 300 000 руб. в год. Причем все платежи надо вно-
сить в начале года. Леша хочет сразу выкупить помещение. О какой сумме ему следует договариваться, если обе стороны считают справедливой процентную ставку = 12 % годовых?
Решение: Поток бесконечный пренумерандо.
0 = |
|
+ = |
300 |
+ 300 = 2 800. |
|
0.12 |
Ответ: Леше следует предложить 2 800 000 руб.
Следующий пример финансового потока – инвестиционный процесс. Инвестиционный процесс предполагает затраты в начальный момент времени (отрицательный платеж), а затем поток доходов (положительные платежи): суммы { 0, 1, . . . } относятся к моментам времени { 0, 1, . . . }, где 0 < 0 и ≥ 0 для = 1, 2, . . . , . Для инвестицион-
ГЛАВА 3. ФИНАНСОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ |
89 |
|
|
ного процесса современная стоимость потока определяется так же, как и для потока платежей, по формуле (16), но нумерация начинается с нуля, с момента инвестиции:
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = |
=0 |
(1 + ) |
= |
|
. |
(21) |
|
|
|
=0 |
|
|
Однако значения 0 не всегда достаточно для принятия правильного решения. Например, если задачу на с. 84 рассматривать как инвестиционный процесс, в начале которого Гоша инвестирует 200 000 руб., то возникает вопрос:
10 909 руб., которые заработал Гоша, – это много или мало? Другая проблема состоит в том, что, инвестировав деньги, Гоша на время теряет право распоряжаться ими. Пока деньги лежали на счету в сбербанке, Гоша в любой момент мог вложить их в более выгодное дело. Теперь нет! Значит, помимо дохода, важно знать, как скоро деньги вернутся к инвестору. Для этого существует такая характеристика инвестиционного процесса, как период окупаемости. Рассмотрим последовательность приведенных значений
|
|
|
|
|
= |
∑ |
, где = 1, 2, . . . , . |
||
(1 + ) |
||||
=0 |
||||
|
|
|
Если существует такое , что ( −1 < 0)&( > 0), то за период окупаемости инвестиционного процесса принимается
90
значение = . Рассмотрим функцию (рис. 9)
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
||
( ) = |
. |
(22) |
||
|
=0 |
(1 + ) |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 9. Современное значение потока как функция r
Следующая важная характеристика потока – внутренняя доходность, которая позволяет выразить доходность инвестиционного процесса в годовых процентах и сравнить его, например, с доходностью ценных бумаг или вкладов в банках. Внутренняя доходность инвестиционного процесса находится как решение * уравнения ( ) = 0, т. е. как
такое значение , при котором для инвестора безразлич-
но, вложить деньги в инвестиционный процесс или поместить их на счет в банке под годовых процентов. Есте-
ственно возникает вопрос: всегда ли уравнение ( ) = 0
имеет решение? По смыслу задачи функция ( ) опреде-
лена на интервале от [0; +∞) и убывает на этом интервале,