Материал: Прогрессии
ГЛАВА 1. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ |
21 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ: 10.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 13. |
|
|
Вычислить 7.5 + 9.8 + 12.1 + . . . + 53.5. |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
97 |
||||||||||||||||||||||||||||
Решение: 1 = 7.5, |
= 53.5, = 9.8 − 7, 5 = 2.3. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
1 |
+ ( |
− |
1) |
|
|
|
= |
− 1 |
+ 1 = |
53.5 − 7.5 |
+ 1 = 21. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.3 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
21 = |
|
|
1 + 21 |
· 21 = |
7.5 + 53.5 |
· 21 = 640.5. |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||
Ответ: 640.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 14. |
|
|
4 = |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
. Найти сумму первых семи членов |
98 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
14 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
арифметической прогрессии. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Решение: 4 |
= |
5 |
1 |
+ 3 = |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
14 |
14 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 1+6 |
· 7 = ( 1 + 3 ) · |
5 |
· 7 = 2.5. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
7 = |
|
|
|
|
|
7 = |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
14 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Ответ: 2.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Пример 15. |
|
|
Сумма четвертого и шестого членов арифме- |
95 |
||||||||||||||||||||||||||
тической прогрессии равна 14. Найти сумму первых девяти |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
членов этой прогрессии. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Решение: 4 + 6 |
= 14 1 |
+ 3 + 1 |
+ 5 = 14 |
|
||||||||||||||||||||||||||
2 1 + 8 = 14 9 = |
2 1 + 8 |
· 9 = |
14 |
· 9 = 63. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Ответ: 63. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Пример 16. |
|
|
|
|
|
Требуется |
разделить |
|
10 мер |
хлеба на |
98 |
|||||||||||||||||||
10 человек так, чтобы разность между каждым человеком и следующим составила 18 меры.
22
Решение. У нас десять членов прогрессии с шагом = 18.
010 = 10 |
1 + 10 |
· 10 = 10 |
|
2 1 + 9 |
= 1 |
||||
2 |
2 |
|
|||||||
2 1 + 9 = 2 2 1 + |
9 |
|
= 2 |
1 = |
7 |
. |
|||
|
|
|
|||||||
8 |
|
16 |
|||||||
Ответ: требование задачи будет выполнено, если первый человек получит 167 меры хлеба, а каждый следующий на 18 меры больше предыдущего.
98 Пример 17. Сумма первых пяти членов арифметической
прогрессии равна 30. Найти третий ее член.
Решение:
5 = 2 1 + 4 ·5 = 30 ( 1 + 2 ) ·5 = 30 1 + 2 = 3 = 6. 2
Ответ: 6.
Если из арифметической прогрессии убрать первые членов и последовательно перенумеровать остальные, мы получим арифметическую прогрессию с той же разностью, первым членом которой будет ( + 1)-й член исходной.
98 Пример 18. Пусть 17 = 5, а 25 = 35. Найти сумму членов прогрессии с семнадцатого по двадцать пятый. Решение. Отбросим первые 16 членов, и задача сведется к нахождению суммы девяти первых членов прогрессии,
ГЛАВА 1. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ |
23 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
первый член которой равен 5, а девятый 35. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
9 = |
|
1 + 9 |
· 9 = |
|
5 + 35 |
· 9 = 180. |
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||||
Ответ: |
180. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Очевидно, сумма членов арифметической прогрессии с -го |
|
|
|||||||||||||
по -й, т. е. [ , ], где > , равна − −1. |
|
|
|
||||||||||||
Пример 19. |
Найти сумму членов арифметической про- |
|
98 |
||||||||||||
грессии с двенадцатого по девятнадцатый, если первый член |
|
|
|||||||||||||
равен 3, а двадцатый 41. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение: 20 |
= 1 + 19 3 + 19 = 41 = 2. |
|
|
|
|||||||||||
19 = |
2 1 + 18 |
· 19 = |
6 + 36 |
· 19 = 399. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
11 = |
|
|
2 1 + 10 |
· 11 = |
6 + 20 |
· 11 = 143, 19 − 11 = 256. |
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
Ответ: |
256. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||||||||||||
Пример 20. |
Отношение суммы первых 13 членов ариф- |
|
98 |
||||||||||||
метической прогрессии [1,13] к сумме последних 13 членов[ −12, ] равно 12, а отношение суммы всех членов без первых трех [4, ] к сумме всех членов без последних трех [1, −3]
равно 43. Определить число членов прогрессии.
Решение:
[4, ] |
4 |
|
|
4+ |
4 |
|
|
|
2 1 |
+( +2) |
4 |
|
|
||||||
|
[1,13] |
= |
1 |
|
|
1+ 13 |
= |
1 |
|
|
2 1+12 |
= |
1 |
|
|||||
[1, 3] |
= 3 |
|
|
1+ 3 |
= 3 |
|
|
2 1 |
+( 4) |
= 3 |
|
|
|||||||
|
[ −12, ] |
|
2 |
|
|
−12 |
+ |
|
2 |
|
|
2 1 |
+2( −7) |
|
2 |
|
|||
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|||
24
|
|
1 |
= |
|
22− 19 |
|
|
|
19 = 22 − |
|
= 20. |
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
= |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2− . |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 20. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
99 |
Пример 21. |
|
Найти арифметическую прогрессию, в кото- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
рой сумма первых членов равна 2 для любого . |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
Решение: |
|
= |
2 1 + ( − 1) |
|
· |
= 2 |
|
= |
2( − 1) |
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
|||||
|
|
В последнем равенстве будет константой только |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в случае |
||
|
|
1 = 1. Тогда = 2 |
и = |
1 + ( − 1)2 = 2 − 1. Иначе |
||||||||||||||||||||||
|
|
говоря, последовательность состоит из нечетных натураль- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
ных чисел {1, 3, 5, 7 . . .}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Ответ: 1 = 1 и = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
, √ |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
99 |
Пример 22. |
|
Могут ли числа |
|
3 |
и |
3 |
быть членами од- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ной арифметической прогрессии?
Решение. Условия задачи не требуют, чтобы члены про-
√
грессии были расположены подряд. Пусть = 1, = 3 и
= 3, где < < . = 1+( −1) , = 1+( −1)
− = ( − ) , т. е. разность любых двух членов равна произведению разности их номеров на разность прогрессии.
|
− = ( − ) = |
√ |
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Тогда |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
− = ( − ) = 3 − √ |
|
|
= √ |
3(√ |
|
− 1) |
|
||||||||||||||||||
|
3 |
3 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
− |
|
− |
|
√ |
3(√ |
|
− 1) |
|
= √ |
|
. |
|
||||||||||||
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||
|
= |
= |
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 − 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ГЛАВА 1. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ |
25 |
|
|
√
−
Поскольку 3 – иррациональное число, а − – рациональ-
ное, они ни при каких , , не будут равны.
√
Ответ: числа 1, 3 и 3 не могут быть членами одной арифметической прогрессии.
Пример 23. При каком условии числа , и могут быть |
|
99 |
||||||||||||||||||||
членами арифметической прогрессии? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Решение. Пусть = , = и = . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= 1 + ( − 1) |
|
|
|
= ( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= 1 |
+ ( |
− |
1) |
|
|
|
− |
|
|
− |
|
|
− |
= |
|
|
− |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
− |
|
|
|
− |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= 1 + ( − 1) |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Если |
|
– иррациональное число, то числа |
, и |
|||||||||||||||||||
|
− |
|||||||||||||||||||||
не могут быть членами арифметической прогрессии. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2. Если |
|
− |
|
= |
|
, где |
и |
– целые числа, то |
, |
и |
||||||||||||
|
− |
|
||||||||||||||||||||
являются членами арифметической прогрессии:
= = 1 + ( − 1);
= + = 1 + ( + − 1);
= + + = 1 + ( + + − 1),
где 1 – произвольная константа, = − 1
−1 .
Ответ: числа , и – члены арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда −− – рациональное число.