Материал: Прогрессии

26

99 Пример 24. Найти четырехзначное число, первые три

цифры которого образуют невозрастающую арифметическую прогрессию, если известно, что оно делится на 225. Решение. Поскольку 225 = 25 · 9, число должно делиться

на 25 и на 9. На 25 делятся все четырехзначные числа ви-

да * * 00, * * 25, * * 50 и * *75. Представим все возможные

варианты в зависимости от значения разности прогрессии

в следующей таблице:

d * * 00 * * 25 * * 50 * * 75

не является четырехзначным. Из остальных перечисленных в таблице делятся на 9 числа 6 300 и 7650.

Ответ: 6 300 и 7650.

99 Пример 25. Могут ли цифры трехзначного простого чис-

ла образовать прогрессию с положительной разностью? Решение. Допустим, могут. Пусть пусть – первая циф-

ра, тогда + – вторая, + 2 – третья. Сумма цифр

числа равна 3 + 3 . Поскольку сумма цифр делится на 3,

на 3 делится и все число, а значит, оно не будет простым.

Ответ: цифры трехзначного простого числа не могут образовать арифметическую прогрессию.

Пример 26. Могут ли цифры четырехзначного простого 99 числа образовать арифметическую прогрессию с положительной разностью?

Решение. Допустим, могут. Пусть – первая цифра, +

– вторая, + 2 – третья, + 3 – четвертая. Сумма цифр числа равна 4 + 6 = 2(2 + 3 ). Сразу исключим случаи, когда делится на 3, так как тогда и все число делится на 3. Поскольку + 3 – цифра, + 3 ≤ 9. Если > 3, то число + 3 не будет десятичной цифрой, = 3 = 0, и в таком случае число уже не будет четырехзначным. Остаются = 0, = 1 и = 2.

1) = 0. Прогрессия стационарна, число состоит из четырех одинаковых цифр и делится на соответствующую цифру. Простое число может делиться только на 1. Но число, состоящее из одних единиц, 1 111 = 11 · 101. Значит, ̸= 0. 2) = 1. Тогда надо искать число среди 1 234, 2 345, 3 456,

4 567, 5 678 и 6 789. Удалим четные числа, делящееся на 5 число 2 345 и делящееся на 3 число 6 789. Остается

4 567, которое действительно является простым. Чтобы убедиться в этом, достаточно проверить делимость числа 4 567 на простые числа от 2 до 67, поскольку 682 > 4 567.

3) = 2 ≤ 3. Случаи = 0 и = 3 мы исключили выше, а при = 2 получим четное число. Остается составное

28

число 1 357 = 23 · 59.

Ответ: единственное четырехзначное простое число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию, – 4 567.

100 Пример 27. Можно ли в арифметической прогрессии

между каждыми двумя последовательными членами вставить по чисел так, чтобы и новая последовательность была арифметической прогрессией?

Решение. Надо взять прогрессию с тем же первым чле- ном 1 и разностью + 1. Например, если в исходной по-

следовательности 1 = 6, = 4 и требуется между каждыми соседними членами вставить по 3 числа, то в новой после-

довательности должна быть разность 4 = 1 (рис. 3). Ответ: можно.

Рис. 3. Сплошная линия – исходная прогрессия, пунктирная – новая

Еще одно замечание: последовательность членов арифметической прогрессии с номерами , + , + 2 , + 3 , . . .,

где и – натуральные числа, также является арифмети-

ческой прогрессией с первым членом и разностью · .

Так, если в исходной прогрессии с первым членом 1 = 5 и

разностью = 3 взять члены с номерами 3, 7, 11, . . ., мы по-

лучим прогрессию с первым членом 11 и разностью 4 = 12.

Интересно, что номера выбранных членов исходной прогрессии также образуют арифметическую прогрессию.

Далее рассмотрим задачу, предлагавшуюся на вступительном экзамене в Высшую школу бизнеса МГУ в 2004 г., которая, на первый взгляд, может показаться очень непростой. Однако, если вы не боитесь громоздких выражений, окажется, что для ее решения достаточно рассмотренного нами выше набора «стандартных средств».

рых уравнение 25 5 +25( −1) 3 −4( −7) = 0 имеет ровно

пять различных вещественных корней, образующих арифметическую прогрессию.

Решение. Вынесем за скобки общий множитель :

(25 4 + 25( − 1) 2 − 4( − 7)) = 0 и найдем корни биквад-

ратного трехчлена в скобках. Для этого введем замену переменной 2 = : 25 2 + 25( − 1) − 4( − 7) = 0;

= 252( − 1)2 + 4 · 25 · 4( − 7) = 25(25 2 − 34 − 87);

= 2, исходное уравнение будет иметь пять различных вещественных корней только тогда, когда 1,2 > 0.

30

В таком случае −5( − 1) = 5(1 − ) > 0, т. е. должно

выполняться условие < 1. При этом автоматически вы-

√

полнится условие 5(1− ) > 25 2 − 34 − 87. Действитель-

но, возведя левую и правую части неравенства в квадрат, после простых преобразований мы придем к неравенству

В этой области исходное уравнение имеет пять вещественных корней. Расположим их в порядке возрастания:

Однако второе не входит в установленную нами область значений . При = −2 упорядоченное множество корней