Материал: Прогрессии
36
членов прогрессии { } на константу , – геометрическая прогрессия со знаменателем и первым членом 1.
2. Последовательнось, составленная из членов { }, возве-
денных в степень , где – константа, – геометрическая прогрессия со знаменателем и первым членом 1 .
3. Последовательность, составленная из произведений соответствующих членов прогрессий { } и { }, – геометриче-
ская прогрессия с первым членом 1 1 и знаменателем .
Произведение первых членов геометрической прогрессии { }, где = 1, 2, 3, . . ., находится из равенства
|
|
|
( −1) |
||
∏ |
|
∏ |
|||
= 1 |
−1 = 1 1+2+...+ −1 = 1 |
|
|
||
1 2 3 . . . = |
|
|
. |
||
|
2 |
||||
=1 |
|
=1 |
|
|
|
§ 2.2. Примеры
32 55
102 Пример 30. Дана прогрессия {3, 6, 12, . . .}. Найти 5. Решение. Прежде всего убедимся в том, что речь действительно идет о геометрической прогрессии:
= 63 = 126 = 2. Тогда 5 = 1 4 = 3 · 24 = 48.
Ответ: 48.
102 Пример 31. Является ли последовательность
{5, 10, 19, . . .} геометрической прогрессией?
ГЛАВА 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ |
37 |
|
|
10 19
Решение: 5 ̸= 10.
Ответ: не является.
Пример 32. Задача из российской рукописи XVII столе- 102
тия: «Было 40 градов, а во всяком граде по 40 улиц, а во всякой улице по 40 домов, а во всяком доме по 40 столпов, а во всяком столпе по 40 колец, а у всякого кольца по 40 коней, а у всякого коня по 40 человек, а у всякого человека по 40 плетей; ино много-ли поразнь всего будет?» [2, с. 22]. Решение. Количество градов 1 = 40, в каждом граде 40 улиц, т. е. всего 2 = 1 · 40 = 1 600. На каждой улице 40 домов, т. е. всего 3 = 2 · 40 = 64 000 и т. д.
Ответ представим в виде таблицы:
Член прогрессии |
Сущность |
Количество |
|
|
|
|
|
|
1 |
грады |
40 |
|
|
|
2 |
улицы |
1 600 |
3 |
дома |
64 000 |
|
|
|
4 |
столпы |
2 560 000 |
|
|
|
5 |
кольца |
102 400 000 |
|
|
|
6 |
кони |
4 096 000 000 |
|
|
|
7 |
люди |
163 840 000 000 |
|
|
|
8 |
плети |
6 553 600 000 000 |
|
|
|
Результат впечатляет! Народу в этих 40 городах более 163 миллиардов, а количество плетей выражается числом
38
6 триллионов 553 миллиарда 600 миллионов.
102 Пример 33. Четвертый член геометрической прогрессии равен 3, а восьмой 48. Найти первый член и знаменатель.
Решение:
3 = 3 |
1 3 = 3 |
|
|
48 |
|
|
7 = 48 |
1 7 = 48 |
4 |
= |
|
|
= 16 = ±2. |
3 |
|
|||||
|
|
|
3 |
|
|
|
1) = −2 1(−8) = 3 1 = − |
8 ; |
|
|
|
||
2) = 2 18 = 3 1 = 38 .
Ответ: условиям задачи удовлетворяют две последовательности, заданные первым членом и знаменателем:
= |
3 |
|
= 3 |
|
1= |
|
−28 |
и |
1= 28 |
|
− |
|
|
|
102 Пример 34. Найти четыре числа, образующие геомет-
рическую прогрессию, если сумма первого и третьего равна 35, а сумма второго и четвертого – (-70).
Решение:
1 + 3 = 35 |
1 + 1 2 3= 35 |
70 |
|||||
2 + 4 |
= |
|
70 |
1 + 1 = |
|
||
2 |
) = |
|
− |
|
|
− |
|
( 1 + 1 |
−70 · 35 = −70 = −2. |
||||||
1 + 1 2 = 35 1(1 + 2) = 35 15 = 35 1 = 7.
ГЛАВА 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ |
39 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 = 1 = −14, |
3 = 2 = 28, |
4 = 3 = −56. |
|
|
|
||||||||||
Ответ: {7, −14, 28, −56}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 35. Является ли геометрической прогрессией по- |
|
103 |
|||||||||||||
следовательность, заданная формулой = 2 · 3 +1 + 3 ? |
|
|
|
||||||||||||
Решение. Для = 1, 2, 3, . . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
+1 |
= |
2 · 3 +2 + 3 +1 |
= |
2 · 9 + 3 |
= 3. |
|
|
|
||||||
|
2 · 3 +1 + 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 · 3 + 1 |
|
|
|
||||||||||
Ответ: является прогрессией со знаменателем = 3. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример 36. Является ли геометрической прогрессией по- |
|
103 |
|||||||||||||
следовательность, заданная формулой = 2 + 3 −1? |
|
|
|
||||||||||||
Решение: |
|
2 |
5 |
3 |
11 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
̸= |
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
2 |
5 |
|
|
|
|
||||
Ответ: не является. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 37. Числа 1, 2 и 3 |
|
|
|
||||||||||||
образуют арифметическую |
|
103 |
|||||||||||||
прогрессию, а числа 1 −1, 2 +1 и 3 +15 – геометрическую. |
|
|
|||||||||||||
Найти 1 и , если 1 + 2 + 3 = 24.
Решение:
3 1 + 3 = 24
( 1 + + 1)2 = ( 1 − 1)( 1 + 2 + 15)
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
− |
|
|
|
1 |
+ = 8 |
|
|
|
1 |
= 8 |
|
|
|
+ 4 + 16 |
− |
12 1 = 0 |
+ 16 |
− |
80 = 0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
40
Ответ: |
1) |
1 = 28 |
и 2) |
1 = 4 |
||
|
|
= |
− |
20 |
|
= 4 |
|
|
|
|
|
|
|
95 Пример 38. Сумма трех положительных чисел, со-
ставляющих арифметическую прогрессию, равна 15. Если
ко второму из них прибавить 1, к третьему 5, а первое оста-
вить без изменения, получится геометрическая прогрессия. Найти три исходных числа.
Решение:
|
2+1 |
3+5 |
|
|
|
|
|
1 |
+ +1 |
1+2 +5 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 + 2 |
+ 3 |
= 15 |
|
3 1 + 3 = 15 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 = |
2+1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
= 1+ +1 |
|
|
||||||||
|
|
|
1 = 5 |
− |
|
|
|
|
|
1 |
= 5 |
− |
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
3 1 + 1 = 0 |
|
|
2 |
|
|
14 = 0 |
||||||||
|
|
|
|
+ 2 |
− |
|
|
|
+ 5 |
− |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Корни квадратного трехчлена 1 |
= −7 и 2 = 2. |
|
|
|||||||||||||||||
|
1) = −7 1 = 12: |
|
1 |
= 12, |
|
2 = 5, |
|
3 = −2; |
|||||||||||||
|
арифметическая прогрессия |
|
|
||||||||||||||||||
|
геометрическая прогрессия |
1 |
= 12, |
|
|
2 = 6, |
|
3 = 3; |
|||||||||||||
|
2) = 2 1 = 3: |
|
|
|
1 |
= 3 |
2 |
= 5 |
|
|
|
3 = 7; |
|||||||||
|
арифметическая прогрессия |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
геометрическая прогрессия |
1 |
= 3 |
2 |
= 6 |
|
3 = 12. |
||||||||||||||
|
Ответ: 1) {12, |
5, −2} и |
2) {3, |
|
5, 7}. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
104 |
Пример 39. |
|
Шахматы появились примерно 3 тыс. лет |
||||||||||||||||||
назад в Индии. Согласно одной из легенд, царю настолько