Рис. 32. График плотности нормального распределения проницаемости при 0=0,7, А=0,8 мкм2:
1 — теоретическая кривая; 2 — фактические точки
Рис. 33. Кривая, построенная по формуле нормального закона распределения проницаемости при 0= 0,7 н А=0,8 мкм2
но расходятся вследствие влияния отрицательных проницаемо стей, которые допускает нормальный закон распределения.
Поскольку erf(oo) = l, то, согласно (11.17), F(oo) = l. В со
ответствии с (II.10) математическое ожидание проницаемости
есть средняя проницаемость k. Покажем это, для чего подста
вим (11.11) в (П.10). Получим
M (k) = \ — ^ е |
2о* dk. |
(11.18) |
J о у 2л |
|
|
Для вычисления интеграла (П.18) представим его так:
А1« = 1 |
•Г_5Г"Л= |
Ш19> |
4* |
|
51 |
Для первого интеграла / i имеем следующее выражение:
J%= \ ==А= © |
dk. |
(11.20) |
=se
Положим %= (6==F)/(of2). Тогда из (11.20) получим
j , . 4 Й - Г |
— е~^2 = 0. |
УЯ J |
2 у п |
Второй интеграл /а выразим следующим образом:
?, <*-Я*
•'-Чтит Г 2еа dk
о |
_ J tS L |
л . |
(»-*)» |
fj eVEt |
|
0 |
209 dki- |
(Н.21)
(11.22)
По аналогия с (ПЛ4) н (НЛ5) каждый из интегралов, вхо дящих в (1L22), равен 7а* Поэтому с учетом того, что, соглас
но (ШН), /*^0, а выражение (ПЛ9) превращается в тождество* Наконец» определим, чему равна дисперсия при нор мальном законе распределения. Получим
© Ф И J \ k - I f f № Л - 1 |
е «•» <ft. |
(П.23) |
вычисления (IL23) введем, как и ранее» величину 31= (к— =^V/W'%- Тогда та (U M ) имеем
Ш
ШЩ
s w t f ^ a+l ^ A) = w ! ^ ^
Ещдащйй в (ИМ )) окредешйимй шююграш таблшчшшй. Ош»
к а к |
тщтшшш адедуишдат о^рашм:: |
р.38%
|
о |
|
0,5 |
1,0 |
k,mtf |
|
Рис. 34. График плотности логарифмически нормального распределения при |
||||||
о=0,7, £ = 0,8 мкм2 |
|
|
|
|
|
|
Из (11.24) и (11.25) получим |
|
|
|
|||
D0fe)=o*. |
|
|
|
|
|
(11.26) |
2. |
Ло г а р и ф м и ч е с к и |
н о р м а л ь н ы й |
з акон . Фор |
|||
мула плотности распределения проницаемости при этом законе |
||||||
имеет следующий вид: |
|
|
|
|
||
|
|
(1лк—Ил &)>* |
|
|
|
|
НЩ= aiy & е |
555 |
, |
0 < * < о о . |
|
(11.27, |
|
Плотность логарифмически нормального распределения пока зана на рис. 34. Найдем F(k). Подставляя (11.27) в (II.9), по
лучим
®(Вш к—1ш AJ*
0 |
|
|
Поскольку d (ln k )—dklk, из (11.28) имеем |
|
|
Ни* _ |
(ПтЛ-ЯппАЭР |
|
F (fe )= j— ^ - е |
d (ЫЩ. |
0 U ?) |
Отсюда ашалюгачшо (II.17) шодучим
(П.30)
Математическое шшдашоше шрошвдаемостж три лксягарифмшпе- <гвпшЕормалтжом замше рашредешенвшж пшшучшм лш формуле {IIАЩ. При этом
М т = к & № .
Рис. 35. График плотности гамма-распределения при а= 2, А=0,8 мкм2
3. Г а м м а-p а с п р е д е л е н и е . Плотность гамма-распреде ления абсолютной проницаемости в общем виде выражается следующим образом:
0 < * < о о . |
(11.31) |
При этом |
|
00 |
|
Г (а) = j* е '-v ха~1dx, а > 0, х > |
0. |
П лотность гамма-распределения представлена на рис. 35. Формула закона распределения проницаемости имеет вид
F ( k ) = \ ka 1 e~k/k dk |
|
|
(11.32) |
|
Г (a) ka |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
Как и во всех случаях |
|
|
|
|
ka~ l e~fe/fe dk |
e - x |
1 |
= 1, |
|
Г (a)~ka |
1 |
Па) |
||
|
Математическое ожидание проницаемости при гамма-распре делении определяется следующим образом:
. . . 1. |
С ха e~xk dx |
- |
Г (a + |
1) т |
-г |
|
у м - |
>(!) |
* |
- “ *■ |
|
|
6 |
|
|
|
|
4. |
З а к о н |
р а с п р е д е л е н и я М а к с в е л л а . При расче |
|||
тах данных процесса разработки нефтяных месторождений ис пользуют формулу закона распределения Максвелла, получен ную им для описания распределения молекул газа по скорости. Форма записи формулы этого закона была изменена М. М. Саттаровым и Б. Т. Баишевым с целью описания распределения проницаемости реальных пластов. Так, формула плотности рас пределения проницаемости согласно закону Максвелла, видоиз-
54
Рис. 36. График плотности распределения по Максвеллу, видоизмененный М. М. Саттаровым при &=0,8 мкм2, а=0,1 мкм2
мененная М. М. Саттаровым, выражается таким образом:
2 |
/ к + |
а |
k + a |
|
|
|
ko |
|
|
|
|||
f(k) У л у |
k0 |
|
—а < |
k < оо, |
(II.33) |
|
|
|
где а, k0— параметры распределения, определяемые на основе обработки данных о геолого-физических свойствах пластов. Формула плотности распределения проницаемости, по Б. Т. Баишеву, имеет вид
|
|
|
|
(k+a) 2 |
fi(k) |
4 |
(k + а)2 |
1 |
ftl2 |
Уп |
К2 |
К |
(11.34) |
|
|
|
|||
где a, |
k\ — параметры распределения. |
|||
На |
рис. |
36 показан |
график f(k), построенный по формуле |
|
(11.33). Как видно, закон допускает существование нереальных значений отрицательной проницаемости. Однако, как и в слу чае нормального закона, можно считать, что проницаемость из меняется в пределах О ^ ^ ^ о о , но следует учитывать, что в пла сте есть некоторая, отличная от нуля, доля слоев с нулевой про ницаемостью.
§ 5. МОДЕЛЬ ОДНОРОДНОГО ПЛАСТА С МОДИФИЦИРОВАННЫМИ ОТНОСИТЕЛЬНЫМИ ПРОНИЦАЕМОСТЯМИ
Строение нефтяного пласта может быть таким, что неко торые его слои не простираются на большие расстояния, срав нимые с расстояниями между скважинами, а выклиниваются, замещаясь слоями с иной проницаемостью. Длины отдельных слоев могут быть порядка толщины всего пласта. При этом слои не всегда изолированы друг от друга. Пласты такого типа нельзя представлять описанной моделью слоисто-неоднородного пласта. Они более похожи на однородные пласты. Тем не ме нее их слоистая неоднородность прослеживается при обработ
55
ке данных лабораторных исследова ний извлекаемых из недр образцов- пород-коллекторов и при интерпрета ции данных промыслово-геофизичес ких исследований скважин.
Пласты описанного типа можно моделировать однородным пластом с осредненной абсолютной проницае мостью и модифицированными отно сительными проницаемостями для на сыщающих их веществ. Чтобы пост роить такую модель, выделим эле ментарный объем прямолинейного пласта длиной Ах, т о л щ и н о й h и ши риной b (рис. 37). Будем считать, что
в пределах каждого его элементарно го объема имеется такой набор слоев с различной абсолютной проницаемо стью, частота появления которых опи сывается формулой определенного ве роятностно-статистического закона.
Построим модель пласта с моди фицированными относительными про ницаемостями, полагая, что извлече
ние из него нефти происходит путем вытеснения ее водой. Мож но рассматривать и другие процессы извлечения нефти.
Сложим мысленно отдельные слои пласта в «штабель» таким образом, чтобы слой с самой большой проницаемостью был рас положен внизу, а с самой низкой — вверху (см. рис. 37), и аб солютная проницаемость возрастала сверху вниз. Примем, что вода мгновенно поршневым способом вытесняет нефть из i-ro пропластка. Таким образом, в некоторый момент времени в об-
водннвшихся слоях толщиной h будет фильтроваться только во
да, а в слоях толщиной h—h — только нефть. В обводннвпшхся
слоях остается нефть при остаточной нефтенасыщенности SHостг- В начальный момент времени слои пласта были насыщены нефтью и связанной водой с насыщенностью зсвМожно также считать, что зЯОст и зависят от абсолютной проницаемости слоев. Расход воды Д^ь, поступающей в слои толщиной М эле
мента пласта, определим по формуле
i (1 '““ Эя о с т ■5си) ЪАЪАр
Здесь фазовая проницаемость для воды ОСТ Если бы в слоях толщиной Ah содержалась только вода, то рас
ход воды Ад® выражался бы следующим образом:
А^„ = kbApM/{^Ax).
56