Документ: Решение краевых задач для уравнения Лапласа (96, страницы 21-25

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

нение (3.26), получим функцию

U

y

3

C0(y) = −

0

+ A0y + B0,

2

b

где A0 и B0 — произвольные постоянные. Подставляя эту функцию

в (3.28), получаем систему уравнений

B0 = U0,

a

2

− 2

U0

+ A0b + B0 = U0

b

,

находим

решая которую,

.

U

b

2

1

B0 = U0, A0 =

0

−

b

a

2

Таким образом,

U

y

3

y

b

2

1

.

C0(y) = U0 −

0

+ U0

−

2

b

a

2

Для отыскания частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (3.27) применим метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.

Так как общее решение однородного дифференциального уравнения, соответствующего неоднородному уравнению (3.27), имеет

вид
Cn(y) = An sh		πny		+ Bn sh	πn(b − y)	,

			a		a
то частное решение уравнения (3.27) будем искать в виде
Cn(y) = An(y) sh	πny		+ Bn(y) sh		πn(b − y)		.	(3.30)
	a
					a

Согласно методу Лагранжа, функции A0n(y) и Bn0 (y) определим из системы

ny

π

n b

y

An(y) sh

π

+ Bn(y) sh

( a−

)

= 0;

a

a −

a

πn

πny

πn(b y)

n0 ( ) ch

−

= βn( )

21

A y

B y

y .

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Определитель этой системы не равен нулю, так как является определителем Вронского фундаментальной системы решений:

W sh

ny

π

n b

y

n

nb

π

, sh

( a−

)

= −

π

sh

π

.

a

Это означает, что система имеет единственное решение. По правилу Крамера находим

sh

πn(b − y)

sh

πny

a

A0

(y) =

β

(y)

a

; B0 (y) =

β (y)

a

.

πnb

n

πn

n

sh

n

− πn n

sh

πnb

a

В результате выражения для An(y) и Bn(y) примут вид

y

a

Z0

b

t

An(y) = pn +

βn(t) sh

πn(a−

)

dt;

πn sh

πnb

a

y

a

Z0

nt

Bn(y) = gn −

βn(t) sh

π

dt,

πn sh

πnb

a

где pn и gn — произвольные постоянные.

Подставив функции An(y) и Bn(y) в (3.30), получим

y

ny

a

Z0

π

n y

t

Cn(y) = pn sh

π

+gn sh

πn(ba− y)

+

βn(t) sh

( a−

)

dt.

a

πn

С учетом ранее найденных функций βn(y) выражение для Cn(y) примет вид

Cn(y) = (pn + Sn) sh

πny

+ gn sh

πn(b − y)

−

πn

Sny,

a

π5

b

N

a

n5

где Sn =

12U0

a 3

1 + (−1)n+1

, n

.

Определим коэффициенты pn и gn так, чтобы искомая функция Cn(y) удовлетворяла условиям (3.29). Подставив Cn(y) в (3.29),

22

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

получим систему

nb

πnb

πn

gn sh

π

= 0;

a

(pn

+ Sn) sh

−

Snb = 0.

находим

a

Отсюда

1 , n

gn = 0, pn

= Sn

b

πn

−

N.

a ∙ sh πa

nb

Таким образом,

Cn(y) = Sn πn

ny

.

b

sh

π

y

a

a ∙ sh

πa

− a

nb

В результате

можем

записать

решение

краевой

задачи

(3.20)–(3.22):

U

y

3

y

b

2

1

v(x, y) = U0 −

0

+ U0

−

+

2

b

a

2

cos

U

a 3

∞

n+1

b

sh πny

y

nx

+

12

0

X

1 + (−41)

a

π

,

4

b n=1

a

∙ sh

π

n

a

πnb

− a

a

а решение u(x, y) исходной краевой задачи (3.17)–(3.19) примет следующий вид:

	U			x	y	3
u(x, y) = w(x, y) + v(x, y) =	0	(x2	− y2) + U0			+ v(x, y).
	a2			a	b
3.3. Задачи для самостоятельного решения
Решить краевые задачи для уравнения Лапласа						u(x, y) = 0 в

прямоугольнике 0 < x < a, 0 < y < b с заданными граничными

условиями.					23

1.	ux x=0	= 0, ux x=a	= 0, u y=0	= U1, u y=b	= U2.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

U0

y

U0x

2. u

= 0, u

x x=a

=

1 +

, u

y

=

,

a

b

ab

x=0 x

y=0

u

y=b

U

.

=

2

0 a

3πy

3. u x=0 = 0, u x=a = U0 sin

, u y=0 = 0, uy y=b = 0.

U0

πy

2b

πy

4. ux x=0 =

1

−

cos

,

u x

a = U0 sin

,

u y

= 0,

u

U

x

.

a h

2b i

=

2b

=0

y=b

0

=

a

y

2 πy

2

U0

5. u x=0 = U0

b

2

,

ux x=a = 4

a

sin

4b

, uy y=0 = 0,

x

u

y=b

U

0

1 +

.

4.ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

4.1.Уравнение Бесселя. Фундаментальные системы решений

уравнения Бесселя

Линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка
x2y00(x) + xy0(x) + (x2 − ν2)y(x) = 0	(4.1)

называют уравнением Бесселя ν-го порядка (здесь ν — параметр). Всякое решение уравнения Бесселя, не равное тождественно

нулю, называют цилиндрической функцией.

Одним из частных решений уравнения (4.1) является функция

X	( 1)n	x	2n+ν
∞
Jν(x) = n=0	n!Γ(n−+ ν + 1)	2	,

называемая цилиндрической функцией I рода или функцией Бесселя порядка ν.

Функция Бесселя отрицательного порядка

∞	( 1)n	x 2n ν
X	n! Γ(n−− ν + 1)		−
J−ν(x) = n=0		2

также является решением уравнения (4.1). Cформулируем основные свойства функций Бесселя.

24

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

1. Если индекс ν = n — целое число, то функции Jν(x) и J−ν(x) линейно зависимы:

J−n(x) = (−1)nJn(x).

2.Если индекс ν не является целым числом, то функции Jν(x)

иJ−ν(x) линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений (ФСР) уравнения (4.1), при этом его общее решение может быть записано в виде

y(x) = C1Jν(x) + C2J−ν(x),

где C1 и C2 — произвольные постоянные.

Построим дополнительное решение уравнения (4.1), которое с функцией Jν(x) всегда образует ФСР.

Для значения ν, не являющегося целым числом, определим

функцию
Yν(x) = Jν(x) cos πν − J−ν(x),	(4.2)

sin πν

которую называют цилиндрической функцией II рода или функцией Неймана.

Очевидно, что функция Yν(x) является решением уравнения (4.1), так как представляет собой линейную комбинацию частных решений Jν(x) и J−ν(x) этого уравнения.

При целом значении ν формула (4.2) не имеет смысла. Функцию Yν(x) можно доопределить для целых значений ν = n с помощью предельного перехода ν → n. Вычисляя этот предел по

правилу Лопиталя, получаем

∂

Jν(x) cos πν − J−ν(x)

Y

(x) = lim

∂ ν

=

n

ν→n

∂

sin πν

∂ ν

1

∂Jν(x)

−

(−1)

n ∂J−ν(x)

ν=n.

= π

∂ ν

Этот предел и определяет функцию Неймана целого порядка. Отметим следующее. При произвольном индексе ν функции

Jν(x) и Yν(x) являются линейно независимыми и образуют ФСР уравнения Бесселя ν-го порядка. Общее решение этого уравнения

25

Материал: Решение краевых задач для уравнения Лапласа (96

Смотрите также: