Материал: Решение краевых задач для уравнения Лапласа (96

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

имеет вид

y(x) = C1Jν(x) + C2Yν(x),

где C1 и C2 — произвольные постоянные.

На рис. 4.1 и 4.2 представлены графики функций Бесселя J0(x), J1(x) и Неймана Y0(x), Y1(x) для действительного аргумента. Следует отметить, что функции Неймана при x → 0+ не ограничены.

Рис. 4.1

Рис. 4.2

3. Для функций Бесселя (Неймана) справедливы следующие

формулы дифференцирования:

dxd xνJν(x) = xνJν−1(x);

dxd x−νJν(x) = −x−νJν+1(x)

и вытекающие из них рекуррентные соотношения

Jν−1(x) + Jν+1(x) = 2νx−1Jν(x);

Jν−1(x) − Jν+1(x) = 2Jν0 (x).

26

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

4. Уравнение

при ν > −1 имеет бесконечное множество действительных корней

μn (μ1 < μ2 < ∙ ∙ ∙ < μn < . . . ), причем μn → +∞ при n → ∞. 5. Если на линейном пространстве функций, интегрируемых на

[0, a], ввести скалярное умножение согласно правилу

4.2. Краевая задача на собственные значения и собственные функции для уравнения Бесселя

Пусть ν > 0. Рассмотрим следующую краевую задачу на собственные значения и собственные функции:

Здесь условие (4.6) ограниченности решения при x = 0 связано с тем, что точка x = 0 является особой точкой уравнения (4.4).

27

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

где A и B — произвольные постоянные.

Так как эта функция должна удовлетворять условию (4.6), то

Далее, подставляя (4.7) в граничное условие (4.5), получаем уравнение для определения собственных значений λ:

αJν √λa + β√λJν0 √λa = 0.

Пусть μn > 0 — n-й корень уравнения (4.8), тогда собственные значения и собственные функции задачи (4.4)–(4.6) примут вид

Квадрат нормы собственной функции определяется по формуле (4.3).

Замечание. Если α = ν = 0, то существует собственное значение λ0 = 0, которому соответствует собственная функция

X0(x) ≡ 1.

28

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

5. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В ЦИЛИНДРЕ

5.1. Примеры решения задач

Задача 1 (смешанная краевая задача). Решить задачу

Решение. В соответствии с общей схемой метода Фурье поставим задачу на отыскание собственных значений и собственных

∂2

функций оператора Lϕ = −∂ ϕ2 :

Здесь условие периодичности (5.5) связано с тем, что решение u(r, ϕ, z) краевой задачи (5.1)–(5.3) должно быть периодично по ϕ с периодом, равным 2π.

Напомним, что собственные значения и собственные функции задачи (5.4), (5.5) имеют вид

ν0 = 0, Φ(1)0 (ϕ) ≡ 1;

νn = n2, Φ(1)n (ϕ) = cos nϕ, Φ(2)n (ϕ) = sin nϕ, n N.

Будем искать решение u(r, ϕ, z) краевой задачи (5.1)–(5.3) в форме разложения в ряд Фурье по системе собственных функций оператора Lϕ:

u(r, ϕ, z) = v0(1)(r, z)Φ(1)0 (ϕ)+

n=1

где v0(1)(r, z) и vn(k)(r, z), k = 1, 2, — коэффициенты Фурье функции u(r, ϕ, z), которые необходимо определить так, чтобы решение

29