Материал: Решение тестовых заданий федерального интернет-экзамена по математике. Часть 1. Алгебра и геометрия. Колпачёв В.Н., Дементьева А.М

Найдем размеры этих матриц: A размера 2 ×3, AT размера 3×2 , B размера 3×2 и BT размера 2 ×3. Перемножить можно матрицу размера m ×k на матрицу размера k ×n . Рассмотрим произведения, написанные в ответах:

1.ABT : здесь А размера 2 ×3 , BT - 2 ×3 – не согласованы.

2.BA : здесь B размера 3×2 , A - 2 ×3 – согласованы.

3. BT A: здесь BT размера 2 ×3 , A - 2 ×3 – не согласованы.

4.AB : здесь А размера 2 ×3 , B - 3 ×2 – согласованы.

5.AT BT : здесь AT размера 3×2 , BT - 2 ×3 – согласованы. Правильные ответы: второй, четвертый, пятый.

Тестовое задание 2.21

Решение. Здесь мы тоже посмотрим на размеры перемножаемых матриц

иопределим, согласованы ли они. Имеем:

1.Первая матрица размера 2 ×3 , а вторая - 2 ×2 – не согласованы.

2.Первая матрица размера 2 ×2 , а вторая - 2 ×3 – согласованы.

3.Первая матрица размера 2 ×2 , а вторая - 2 ×2 – согласованы.

4.Первая матрица размера 2 ×2 , а вторая - 1 ×2 – не согласованы.

5.Первая матрица размера 1×2 , а вторая - 2 ×2 – согласованы. Правильные ответы: второй, третий и пятый.

51

2.2.5. Обратная матрица

Тестовое задание 2.22

Решение. В этом задании вспомним, что обратная матрица к матрице A существует, если A квадратная и невырожденная. Данная матрица квадратная, значит, обратная к ней не существует, лишь если она вырожденная, т.е. ее определитель равен нулю. Поэтому искомое α найдем из уравнения

Разложим определитель, например, по первой строке, получим

α 68 −6 30 −7 (−16)= 0 68α = −68 α = −1.

Можно было увидеть этот ответ сразу, вспомнив свойство определителя (третье свойство) о его равенстве нулю, а именно, сравнив первую и третью

(−α): (−2)= −12 , то первая и третья строки будут пропорциональны, и по треть-

ему свойству определитель будет равен нулю. Очевидно, условие −−α2 = −12 вы-

полняется при α = −1. Ответ: α = −1.

52

Решение. В этом задании можно вспомнить формулу (2.11)

Решение. В этом задании придется найти обратные к данным матрицы и сравнить с предложенными ответами. Воспользуемся снова формулой (2.11):

53

вет).

2.2.6. Ранг матрицы

( k ≤ n ), поэтому первый ответ неприемлем. Второе утверждение может выполняться, а может и нет, т.к. может быть k < m . Третье утверждение верно, т.к. если ранг матрицы A равен k , то существует не равный нулю минор порядка k этой матрицы. Но тогда обязательно существует минор порядка (k −1), не рав-

ный нулю. Действительно, если бы все миноры порядка (k −1) были равны нулю, то в имеющемся у нас ненулевом миноре порядка k все дополнительные

54

миноры ко всем элементам были бы нулями, поэтому он не мог быть отличным от нуля.

Четвертое утверждение верно, исходя из определения ранга матрицы: если r (A)= k , то наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы равен

k . Иными словами, если бы не существовал минор порядка k , который не равен нулю, то ранг A был бы меньше k .

Правильные ответы третий и четвертый.

Решение. В этом задании вспомним необходимое и достаточное условие совместности системы ( r( A) = r( A) , формулу (2.14)) и (при выполнении (2.14))

условия единственности решения (формула (2.15)).

По условию задания матрица системы A размера m ×n , n - количество неизвестных. Ранги матриц обозначены r( A) = k , r( A) = p . Рассмотрим предложенные утверждения.

1. p = k +1, значит, r( A) ≠ r( A) , значит, система несовместна - утверждение верно.

2.Соотношение между m и n не связано с формулой (2.14), т.е. с выводом о совместности системы, поэтому утверждение не является верным.

3.Условие n = m не связано с вопросом о совместности системы и количеством ее решений, поэтому при n = m может быть что угодно, в частности, у системы может быть бесчисленное множество решений – утверждение верно.

4.Из условия n = k не следует справедливость формулы (2.14), поэтому утверждение не является верным.

Ответ: верны первое и третье утверждения.

55