Материал: Решение тестовых заданий федерального интернет-экзамена по математике. Часть 1. Алгебра и геометрия. Колпачёв В.Н., Дементьева А.М

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

2.2.3. Линейные операции над матрицами

Тестовое задание 2.11
1	−3	2	−1	, то	−3	−1


Если A =	и	B =
−2 0		1 3			−1 3
−2 0		1 3			−1 3
матрица C = A −2B имеет вид…					−1 −2
матрица C = A −2B имеет вид…

					0	−6
					0	−6
					−3	−5
					−3	−5
					0	−6
					0	−6
					−3	−1
					−3	−1
					−4	−6
					−4	−6

Решение. Воспользуемся формулами (2.6) и (2.7) сложения матриц и умножения матриц на число:

				1
C = A −2B =
			−2
	1	−3		4
=	−2	0	−	2
	−2	0		2

−3		−2			2
0					1

−2				1 −4
6	=		−2		−2

−1

1 −3

−

−2 0

−

( 1)

2 1

2 3

−

(

−

−3

−1

(четвертый ответ).

2) =

−4

−6

0 −6

Тестовое задание 2.12
Если существует матрица A +(3A)T ,		является нулевой (размера m ×n ,
Если существует матрица A +(3A)T ,		является нулевой (размера m ×n ,
то матрица A ….		где m ≠ n )
		может быть единичной
		может быть произвольной
		является квадратной

Решение. В этом задании нужно вспомнить, что складывать матрицы можно только одного размера. Если матрица A имеет размер m ×n , то 3A тоже

имеет размер m ×n , а транспонированная (3A)T имеет размер n ×m . Поэтому

сложить две матрицы размеров	m ×n и n ×m можно лишь в случае, когда
m = n . Иными словами, матрица	A +(3A)T существует, когда A - квадратная

матрица. Последнему условию всегда соответствуют только второй и четвертый варианты ответов – они и являются верными.

Тестовое задание 2.13
Вычислите сумму элементов первого

								13
столбца		матрицы		C = 2A −3B , если

	−7 3		6	−4		6	−2
	5	−5 −5			6 −8 6
A =				, B =
	3	4	9		−5	5	7

Решение. Здесь при решении не обязательно находить всю матрицу C = 2A −3B , а достаточно лишь найти ее первый столбец. Обозначим его C1 ,

тогда C1 = 2A1 −3B1 , где A1				и B1 - это первые столбцы матриц A и B соответст-
венно. Получаем, учитывая формулы (2.6) и (2.7),
			−7		−4 −14 −12 −2
		C =	2	5	−3	6	=	10	−	18	=	−8	.
		1
				3		−5		6				23
				3		−5		6		−15		23
Остается сложить элементы столбца C1 : −2 +(−8)+ 23 =13 - это и есть
ответ к заданию.
Тестовое задание 2.14
Даны	матрицы	A =		5	−2		и		5	−4



				4	1				−2	−3
0	1			4	1				−2	−3
									5	−3

B =	. Тогда решением матрич-
3	2
		X + 2B = A							1	−1
									1	−1
ного уравнения					является				5	5
ного уравнения					является
матрица…
матрица…									−5	1


									5	−1
									5	−1
									7	3
									7	3

Решение. Выразим сначала матрицу X из данного матричного уравнения: X = A −2B . Теперь, учитывая формулы (2.6) и (2.7), имеем

5		−2	−2	0		1 5			−2 0			2		5 −4
X =	4	1			3	2	=	4	1	−	6	4	=	−2 −3	.

Полученный результат совпадает с первым ответом.

Тестовое задание 2.15
	1 2		0 1
	1 2		0 1		29
Если A =	−1 3	и B =	−2 3	, то	29
Если A =		и B =		, то	−11
					−11
значение	определителя		матрицы		18
C = A + 2B равно…					20

Решение. В этом задании сначала нужно найти матрицу C , а затем ее определитель. Используя формулы (2.6), (2.7) и (2.3), имеем

1 2

+ 2

0 1

1 2

0 2

1 4

C =

−1 3

−2 3

−1 3

−4 6

−5 9

C = −15 94 =1 9 −4 (−5)= 29 , т.е. первый ответ верный.

			2.2.4. Умножение матриц
Тестовое задание 2.16
			−6	1
			−6	1		23
Даны		две	матрицы: A =		и	23
Даны		две	матрицы: A =		и
			2	3		16
	2	−3				9
B =	4	5	. Элемент первой строки			18
				AB ра-

второго столбца произведения
вен…
Решение. Воспользуемся формулой (2.8). Чтобы найти элемент c12 мат-

рицы C = AB , возьмем первую строку (−6 1) матрицы A и второй столбец

−3

матрицы B . Элемент c12 равен сумме произведений их элементов:

c12 =(−6) (−3)+1 5 = 23 (первый ответ).

Тестовое задание 2.17
Даны матрицы		1 −1					3	1
Даны матрицы
2 3				2 1
2 3				2 1	υ2 υ2
A =	, B =		, C =	.			−3 1
−1 2		−1 1		3 4		13 14
Установите соответствие между двумя					υ	13 14
Установите соответствие между двумя					υ222		4	7
множествами
множествами
1. A B					υ	−1		1
2. A C					υ212		−3	3
3. B C							−3	3
3. B C							1	−1
							1	−1
					υ2 υ2		−1	1
							−1	1
					υ232	−1		−3
					υ232
					υ	1		3
						1		3

Решение. В этом задании придется найти указанные произведения, воспользовавшись формулой (2.8),

2 3

1 −1

2 1 +3 (−1)

2 (−1)+3 1

−1 1

–

A B =

−1 1 + 2 (−1)

−1 (−1)+

−1 2 −1 1

2 1

−3 3

третий ответ.

2 3 2 1

2 2 +3 3 2 1 +3 4 13 14

– второй

A C =

4 7

ответ.

−1 2 3 4

−1 2 + 2 3 −1 1 + 2 4

1 −1

2 1

−1 −3

−

3 1

−

B C =

( 1)

– пя-

−1 1

3 4

−1 2 +1 3

−1 1 +1 4

1 3

тый ответ.

Тестовое задание 2.18
4	0		−1	, тогда		3


Если A =	и	B =
−1 1		2				−4
−1 1		2				−4
матрица C = A B имеет вид…						−4
матрица C = A B имеет вид…

						3
						3
					(	−4	3)
						4
						4
						3
						3

Решение. Здесь просто найдем C = A B , применяя формулу (2.8),

4 0 −1 4 (−1)+0 2 −4

C = A B = = ( ) = – второй ответ.−1 1 2 −1 −1 +1 2 3

Тестовое задание 2.19
					1	1		. Тогда мат-						3			−2


Дана матрица A =
				2		−3								−4			11
рица A2				2		−3								−4			11
		имеет вид…												2
		имеет вид…												2

													13
													13
														1		1
														1		1
														4		9
														4		9
														3			−4
														3			−4
														−2			11
														−2			11
Решение. Матрица A2 по определению равна																		A A . По формуле (2.8)
имеем
	A2 =			1 1				1 1			1 1+1			2			1	1 +1 (−3)		3 −2
	A2 =		A A =							=	2 1								=
				2	−3			2 −3			2 1	+(−3) 2 2 1 +(−3) (−3)								−4 11
– первый ответ.
Тестовое задание 2.20
Для		матриц					2	1	3		и		AB		T
							2	1	3						T
					A =		3	0	4
							3	0	4				BA
	2	4											BT A
	3	1		и транспонированных							к		AB
B =	3	1		и транспонированных							к		AT BT
	1	5
	1	5
ним определены произведения…

Решение. В этом и следующем заданиях нужно вспомнить, что произведение матриц A B существует только для матриц с согласованными размерами (см. определение 2.9). А именно: количество элементов в строке матрицы A должно совпадать с количеством элементов в столбце матрицы B (или, иначе, количество столбцов матрицы A должно совпадать с количеством строк матрицы B ).

В этом задании в ответах участвуют произведения матриц A , AT , B , BT .

Источник: https://studfile.net/preview/16563650/

Смотрите также:




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога