Материал: Решение тестовых заданий федерального интернет-экзамена по математике. Часть 1. Алгебра и геометрия. Колпачёв В.Н., Дементьева А.М
Решение. Посмотрим внимательно на матрицу A . Так как второй и третий столбцы пропорциональны (третий получен из второго умножением на ( −1)), то по третьему свойству определителей делаем вывод, что det A = 0 . Матрица A размера 3×3, поэтому у этой матрицы минор третьего порядка только один – ее определитель. Так как det A = 0 , то делаем вывод, что ранг матрицы A меньше трех. Миноры второго порядка, отличные от нуля у матрицы A , найти легко. Рассмотрим, например, первую и вторую строки и первый и второй
столбцы: |
1 |
1 |
−1 |
|
|||
|
1 |
−1 |
|
|
1 . |
||
|
3 |
1 |
|
|
−1 |
1 |
1 |
, определитель которой (минор |
На их пересечении стоит матрица |
|
|
1 |
−1 |
|
второго порядка) равен |
|
|
|
||
|
|
1 |
1 |
|
=1 (−1)−1 1 = −2 ≠ 0 . |
|
|
||||
|
|
1 |
−1 |
|
|
Так как нашелся минор второго порядка, не равный нулю, а миноры третьего порядка равны нулю, то делаем вывод, что ранг матрицы A равен 2, т.е. первый ответ верный.
Тестовое задание 2.29
Ранг матрицы A равен k . Правильными утверждениями являются…
любой минор матрицы A порядка k +1 равен нулю
число строк матрицы A не может быть меньше k
хотя бы один минор порядка k матрицы A отличен от нуля 
все миноры порядка k −1 матрицы A равны нулю
Решение. Дано: r (A)= k . Рассмотрим предложенные утверждения.
1. Так как r (A)= k - наивысший порядок отличных от нуля миноров мат-
рицы A , то все миноры порядка большего, чем k , равны нулю – утверждение верно.
2.Это утверждение тоже верно, так как ранг матрицы не больше количества строк.
3.Утверждение верно, см. определение 2.13 ранга матрицы.
56
4. Утверждение не является верным (см. обсуждение третьего утвержде-
ния в тестовом задании 2.26.)
Итак, верными являются первое, второе и третье утверждения.
2.2.7. Системы линейных уравнений: основные понятия
Тестовое задание 2.30
Установите соответствие между системой линейных уравнений и ее расширенной матрицей.
4x1 −3x2 + x3 = −2, 1. −2x1 + x3 −4 = 0,
−4x1 + x2 +3 = 0
−4x1 −3x2 + x3 = 2, 2. 2x2 − x3 + 4 = 0,
−4x1 + x2 =3
4x1 +3x2 − x3 = 2, 3. −2x1 + x2 −4 = 0,−4x2 + x3 = −3
−4x1 + x2 +3x3 = −2, 4. 2x1 + x3 −4 = 0,
−4x1 + x2 −3 = 0
υ2 υ2
υ21υ2
υ24υ2
υ2 υ2
υ23υ2
υ22υ2
|
4 |
−3 |
1 |
|
|
−2 |
|
|
|
−2 |
1 |
−4 |
|
0 |
|
||
|
|
|
||||||
|
−2 |
1 |
3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4 |
−3 |
1 |
|
−2 |
|
|
|
|
−2 |
0 |
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
−4 |
1 |
0 |
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
−4 |
1 |
3 |
−2 |
|
|
|
||
|
2 |
0 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
−4 |
1 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
−4 |
1 |
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
−4 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4 |
3 |
−1 |
|
2 |
|
||
|
−2 |
1 |
0 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
−4 |
1 |
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
−4 |
−3 |
1 |
|
|
2 |
|
||
|
0 |
2 |
−1 |
−4 |
|
|||
|
|
|||||||
|
−4 |
0 |
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. В этом задании вспомним, что последний столбец расширенной матрицы системы состоит из правых частей системы, записанной в виде (2.12), а остальные столбцы – это столбцы матрицы системы. Поэтому сначала перепишем системы в виде (2.12), т.е. перенесем свободные члены из левых частей уравнений в правые, записывая одноименные переменные друг под другом:
57
|
4x −3x + x = −2, |
|
−4x −3x + x = 2, |
||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
1 |
2 |
3 |
1. |
−2x1 |
+ x3 = 4, |
2. |
|
|
2x2 − x3 = −4, |
|||
|
−4x + x |
= −3. |
|
−4x |
+ x |
=3. |
|||
|
|
|
1 2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
4x +3x − x = 2, |
|
−4x + x +3x = −2, |
||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
1 |
2 |
3 |
3. |
−2x1 + x2 |
= 4, |
4. |
2x1 |
|
|
+ x3 = 4, |
||
|
|
|
−4x + x = −3. |
|
−4x + x |
=3. |
|||
|
|
|
2 |
3 |
|
|
1 |
2 |
|
Теперь видно, что первой системе соответствует вторая матрица, второй
системе – шестая, третьей системе – пятая и четвертой системе – третья.
Это соответствие видно сразу при сравнении правых частей системы и последних столбцов предлагаемых матриц.
В следующих трех заданиях речь идет о базисных и свободных переменных однородной системы линейных уравнений. Напомним (см. п. 2.1.3), что базисные переменные соответствуют базисному минору матрицы системы, т.е. отличному от нуля минору максимального порядка – остальные переменные являются свободными. Чтобы найти базисный минор, предлагается сначала выписать матрицу системы.
Тестовое задание 2.31
В системе уравнений |
|
|
|
|
|
|
x4 , x5 |
|
|||||
2x + x −3x + x +3x = 0, |
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
x1 , x2 , x3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
−x2 − x3 − x4 + 4x5 = 0, |
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|||||
−x |
− x |
+3x |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x5 |
|
|
|||||
|
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
независимыми (свободными) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
переменными можно считать… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. Выпишем матрицу системы |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
−3 |
1 |
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
0 |
−1 |
−1 |
−1 4 |
|
|||
|
|
|
|
|
A = |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
−1 |
−1 |
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Так как A имеет размер 3×5 , то максимальный порядок миноров матрицы равен трем. Если взять минор третьего порядка, соответствующий первым трем столбцам (т.е. переменным x1, x2 , x3 )
58
2 |
1 |
−3 |
|
, |
|
||||
0 |
−1 |
−1 |
|
|
0 |
0 |
−1 |
|
|
то под его главной диагональю стоят нули и по восьмому свойству определителей он равен произведению диагональных элементов, т.е. равен 2 (−1) 1 = −2 ≠ 0 . Делаем вывод, что найденный минор базисный и переменные
x1, x2 , x3 являются базисными переменными. Остальные переменные x4 , x5 -
свободные, т.е. первый ответ верный. Итак, свободных переменных у данной системы две. Остальные ответы неверны, т.к. в них предлагается не равное двум количество свободных переменных.
Тестовое задание 2.32
В системе уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
x4 , x5 |
|
|||
3x +3x − x + x −4x = 0, |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
2 |
3 4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
x1 , x2 , x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x2 |
−3x3 −3x4 − x5 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
||
4x + 2x + 4x = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 |
|||||
|
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||
базисными (несвободными) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
переменными можно считать… |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. Выпишем матрицу системы |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
3 |
−1 |
1 |
−4 |
|
||
|
|
|
|
|
0 1 |
−3 |
−3 −1 |
|
||||
|
|
|
A = |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
4 |
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Как и в задании 2.31, сразу видим минор третьего порядка, соответствующий первым трем столбцам, не равный нулю:
|
|
3 |
3 |
−1 |
|
= 3 1 4 =12 ≠ 0 . |
|
|
|||||
|
|
0 |
1 |
−3 |
|
|
|
|
0 |
0 |
4 |
|
|
Снова переменные x1, |
x2 , x3 |
можно взять в качестве базисных, а x4 , x5 в |
||||
качестве свободных. Правильным является второй ответ, а остальные неверны, т.к. количество переменных, предлагаемых в этих ответах в качестве базисных, не равно трем.
59
Тестовое задание 2.33
Разность между числом базисных и |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
|
|
|||||||||
свободных |
переменных |
|
системы |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x +3x − x + 2x − x + x = 0, |
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
x2 + 2x3 − x4 + x5 −3x6 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
+ x4 |
−2x5 + x6 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
равна… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Снова выпишем матрицу системы |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
−1 |
2 |
−1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 2 −1 1 −3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
3 |
1 |
−2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Как и в предыдущих заданиях, базисный минор виден сразу:
|
1 |
3 |
−1 |
|
=1 1 3 =3 ≠ 0 , |
|
|
||||
|
0 |
1 |
2 |
|
|
|
0 |
0 |
3 |
|
|
Поэтому в качестве базисных переменных можно взять переменные x1, x2 , x3 , а в качестве свободных - x4 , x5 , x6 . Их количество одинаково: три базисных, три свободных, поэтому ответ на вопрос задания - (3 −3)= 0 .
Ответ: ноль.
2.2.8. Системы линейных уравнений: методы решения
Тестовое задание 2.34
Система линейных уравнений
2x1 −5x2 = 4,3x1 −3x2 = 7
решается по правилу Крамера. Установите соответствие между определителями системы и их значениями.
1.
2. 1
3. 2
υ21υ2 9
υ22υ2 23
υ23υ2 2
υ2 υ2 –2
60