Материал: Решение тестовых заданий федерального интернет-экзамена по математике. Часть 1. Алгебра и геометрия. Колпачёв В.Н., Дементьева А.М

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Тестовое задание 2.2
Разложение определителя				2	1	−7


	2 1 −7						= −3		1	−7		+ 2			2 −7				−			2 1
	2 1 −7			3 0 2			= −3		1	−7		+ 2			2 −7				−			2 1
	3	0	2	3	2	1			0	2					3	2						3	0
	3	0	2						0	2					3	2						3	0
	3	2	1
				2	1	−7

по третьей строке имеет вид …							= −3		1	−7		−2		2 −7				−			2 1
				3	0	2	= −3		1	−7		−2		2 −7				−			2 1

				3	2	1			0	2				3		2					3		0
									0	2				3		2					3		0

				2	1	−7	=3	1		−7	+ 2		2 −7				+			2 1
				2	1	−7
				3	0	2
				3	2	1		0		2			3			2				3			0
								0		2			3			2				3			0

				2	1	−7	=3	1		−7	−2		2 −7				+			2 1
				2	1	−7
				3	0	2
				3	2	1		0		2			3			2				3			0
								0		2			3			2				3			0

Решение. Воспользуемся определением 2.4: определитель равен сумме произведений элементов третьей строки на их алгебраические дополнения (это и есть разложение определителя по третьей строке), т.е.

	2	1			−7	=3 (−1)3+1				1			−7		+ 2 (−1)3+2		2	−7	+1	(−1)3+3	2	1	=


	3		0		2
	3		2		1					0		2					3	2			3	0
	3		2		1
=		3		1	−7		−2	2	−7		+		2	1		(четвертый ответ).
=		3		1	−7		−2	2	−7		+		2	1		(четвертый ответ).
				0	2			3	2				3	0

Здесь 3, 2, 1 – это элементы третьей строки, а алгебраические дополнения найдены по формуле (2.5) (воспользовались определениями 2.2 и 2.3).

Тестовое задание 2.3
Формула вычисления			определителя		ykp

	x	y	z

					ymn
третьего порядка	k	l	m	содержит
					ykn
	n	o	p
					yzp
следующие произведения …

Решение. В этом задании вспомним, что произведения, являющиеся слагаемыми в выражении определителя третьего порядка, не содержат элементов,

стоящих в одном и том же столбце или одной и той же строке. Поэтому нам не подходит произведение ykn ( k и n - элементы первого столбца) и произведе-

ние yzp ( y и z - элементы первой строки). Правильные ответы – первый и второй.

Тестовое задание 2.4
			a	b		равен 1,9 , то

Если определитель							38
Если определитель			−3	5
			−3	5
	5	0		b
	5	0		b
определитель	19	20		21	равен …
	−3	0		a

Решение. Здесь нужно внимательно посмотреть на оба определителя в условии теста. Нетрудно видеть, что определитель третьего порядка удобно разложить по второму столбцу, т.к. в нем два элемента нули. Получаем:

5	0	b	= 20 (−1)2+2	−53	ba	= 20(5a −b(−3))= 20(5a +3b).

19 20 21
−3	0	a

Сравним это выражение с известным нам определителем второго поряд-

ка. По условию	a	b	=1,9 , т.е. 5a −b(−3)=1,9 , т.е. 5a +3b =1,9 .
	−3	5

Вернемся к определителю третьего порядка, в выражении которого в скобках стоит число 1,9. Получаем, что искомый определитель третьего порядка равен 20 1,9 =38 .

Тестовое задание 2.5

Установите соответствие между α и				υ	=11
значениями определителей				υ232	=11
значениями определителей				υ212	= 7
=	3	−4	.	υ
				υ
				υ242	=15
	α	1		υ
	α	1		υ2 υ2	=19
1.α =1				υ2 υ2	=19
1.α =1				υ222	= −13
2. α = −4				υ
2. α = −4					= −1
3. α = 2				υ2 υ2	= −1
4. α =3

Решение. В этой задаче нужно подставить по очереди значения α в определитель, вычислить его и сравнить с данными ответами. Итак:

1.		α =1,	=		3					−4	=			3			−4	=3 1 −1 (−4)= 7 (второй ответ).
1.		α =1,	=		3					−4	=			3			−4	=3 1 −1 (−4)= 7 (второй ответ).
					α					1				1			1
2.		α = −4 ,	=						3	−4			=				3	−4		=3 1	−(−4) (−4)= −13		(пятый ответ).
2.		α = −4 ,	=						3	−4			=				3	−4		=3 1	−(−4) (−4)= −13		(пятый ответ).
								α		1							−4	1
3.		α = 2 ,	=				3			−4		=				3	−4		=3 1 −2 (−4)=11 (первый ответ).
3.		α = 2 ,	=				3			−4		=				3	−4		=3 1 −2 (−4)=11 (первый ответ).
							α			1						2	1
4.		α =3 ,	=			3				−4	=				3		−4		=3 1 −3 (−4)=15 (третий ответ).
4.		α =3 ,	=			3				−4	=				3		−4		=3 1 −3 (−4)=15 (третий ответ).
						α				1					3		1
Тестовое задание 2.6
Определитель				3					2			равен 0, если										1


				6			5α −1
																						0
																						0
α равно…																						−4
																						2	3	2
Решение. Для отыскания α нужно решить уравнение																									= 0 .
Решение. Для отыскания α нужно решить уравнение																									= 0 .
																							6	5α −1
	3	2		=3 (5α −1)−2 6 = 0 15α −15 = 0 α =1 (первый ответ).
	3	2		=3 (5α −1)−2 6 = 0 15α −15 = 0 α =1 (первый ответ).
	6	5α −1

	2.2.2. Матрицы: основные определения
	Тестовое задание 2.7
Алгебраическое дополнение элемента								2			−4


	−2 0 1					A =
a	матрицы A =	4	−1	3	имеет	32		−1			−3
						32		−1			−3

32								−2			1
		3	1	0		A32	=	−2			1
		3	1	0		A32	=	4			3
вид…								4			3
вид…						A	= −			−2	0


						32			3		1
									3		1
						A	= −			−2	1
						A	= −			−2	1
						32				4	3
										4	3

Решение. Чтобы найти A32 , алгебраическое дополнение к элементу a32 ,

вычеркнем из матрицы третью строку и второй столбец. Получим матрицу размера 2 ×2 , вычислим ее определитель – это дополнительный минор M32 к эле-

менту a . По формуле (2.5)	A =(−1)3+2	M	32	= −M	32	, т.е. A = −	−2	1	. Пра-

32	32					32	4	3

вильный ответ четвертый.

Тестовое задание 2.8

Установите соответствие между матрицами A и суммами элементов

a11 + a32 .		−1
	3		0
	1	2	6
1. A =
	4	−5
			−1
	2	−2	−1
	0	1	2
2. A =
	3	4	−2

	1	−3	−2
	−1	0	1
3. A =
	2	3	−3

−9		−4	−3
	−2	−1	0
4. A =
	1	2	−4

υ	4
υ232	4
υ	−2
υ212	−2
υ2 υ2	7
υ2 υ2	2
υ	6
υ222	6
υ	−7
υ242	−7

Решение. В этой задаче вычислим для каждой матрицы сумму элементов a11 + a32 и сравним с предложенными ответами:

		3	−1	0
1.	A =	1	2	6	; a		=3, a		= −5 , a			+ a		=3 −5 = −2 (второй ответ).
						11		32			11	32
		4	−5
		4	−5	−1
		2	−2	−1
2.	A =	0	1	2	; a		= 2 , a			= 4 , a	+ a		= 2 + 4 = 6 (пятый ответ).
						11		32		11		32
		3	4	−2
		3	4	−2
		1	−3	−2
3.	A =	−1	0	1		; a		=1, a		=3 , a		+ a		=1 +3 = 4 (первый ответ).
						11		32			11	32
		2	3	−3
		2	3	−3

	−9	−4	−3
4. A =	−2	−1	0		; a	= −9	, a		= 2, a	+ a = −9 + 2 = −7 (шестой ответ).
					11			32	11	32
	1	2	−4
	1	2	−4
Тестовое задание 2.9.
					5	3	−8				25
					5	3	−8
Дана матрица A =						−7

					9		6	.			6
											−6
				10		3	8				−6
Тогда сумма элементов, расположен-											−5
ных на главной диагонали этой мат-
рицы, равна…

Решение. Матрица A размера 3×3. Элементы главной диагонали матри-

цы A - это a11 =5 ,			a22 = −7 , a33 =8. Найдем сумму этих элементов:
a11 + a22 + a33 =5 −7 +8 = 6 (второй ответ).
Тестовое задание 2.10
	4	2	1
	4	2	1		8
					8

Матрица	0	5	2	является вырож-	10
	0	α	4		−22
	0	α	4		−22
денной, если число				α равно…	−10

Решение. Учитывая определение 2.10 вырожденной матрицы, подберем α так, чтобы определитель данной матрицы был равен нулю. Иными словами, решим уравнение

4 2 1

0 5 2 = 0 ,

0 α 4

которое после разложения определителя по первому столбцу примет вид

4 (−1)1+1

α5

= 0 .

Сокращая левую и правую части равенства на 4 и раскрывая определитель второго порядка по формуле (2.3), имеем

5 4 −2 α = 0 ,

откуда α =10 . Правильный ответ второй.

Источник: https://studfile.net/preview/16563650/

Смотрите также:




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога