Материал: Решение тестовых заданий федерального интернет-экзамена по математике. Часть 1. Алгебра и геометрия. Колпачёв В.Н., Дементьева А.М

Смотрите также:

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Решение. Собственный вектор X ответствующий собственному значению нию AX = λX , т.е. для данной матрицы X выполняется равенство

матрицы A (см. определение 2.21), со- λ , удовлетворяет матричному уравне- A и известного собственного вектора

		5	4		4		4		5	4	4		4
	AX =		2	= λX = λ				, т.е.	1	= λ
		1	2		1		1		1	2	1		1
				5 4 + 4 1		4λ		24 4λ				,
		или		1	=	λ	, т.е.		6	=	λ	,
				1	4 + 2 1	λ			6		λ
4λ =	24	, т.е. λ =		6 (первый ответ).
откуда		, т.е. λ =		6 (первый ответ).
λ = 6

Тестовое задание 2.43

Собственные значения собственных векторов линейного преобразования, заданного в некотором базисе матри-

по формуле…

2	−λ	4		= 0

	1	3 −λ
2	+λ	4			= 0

	1	3 +λ
	2	4 −λ	= 0

1 −λ		3
	2	4 +λ	= 0

1 +λ		3

Решение. Уравнение для отыскания собственных значений линейного преобразования составляется по матрице этого преобразования, соответствующей какому-нибудь базису линейного пространства, по формуле (2.23). В этой формуле стоит определитель, полученный из определителя матрицы преобразования вычитанием из диагональных элементов искомого неизвестного собст-

	2	4	, поэтому искомое уравнение
венного значения λ . В нашем задании A =	1	3	, поэтому искомое уравнение
	1	3

записано в первом ответе – первый ответ верен.

Тестовое задание 2.44

Вектор

X =

собствен-

−1

является

−3

1,5

ным вектором матрицы A ,

соответст-

−4

вующий

собственному

значению

λ = −2. Тогда произведение

A X рав-

но…

−5

−1

Решение. Если X – собственный вектор матрицы

A , соответствующий

собственному значению λ , то справедливо равенство AX = λX . У нас λ = −2 ,

−4

- второй ответ.

X =

−3

, поэтому AX = −2

−3

2.2.10. Квадратичные формы

Тестовое задание 2.45

10x

−9xy +10 y

Матрице

3 5

соответствует

квад-

2x2 +3xy +5y2

ратичная форма …

2x2 −9xy +5y2

2x2 +6xy +5y2

Решение. В п. 2.1.5 объяснялось, как ищется матрица A квадратичной формы: ее элементы aij - это коэффициенты при произведениях переменных

xi xj , причем считается, что коэффициенты при произведениях xi xj и xj xi рав-

ны, т.е. A симметричная матрица. В предлагаемых вариантах ответа даны квадратичные формы относительно переменных x и y . Будем считать, что x -

это x1 , а y - это x2 . В данной матрице квадратичной формы a11 = 2 , т.е. коэф-

фициент

при

x x = x2 = x2

равен

двум;

a =5 , т.е.

коэффициент при

= x2

= y2

равен

пяти;

= a

=3, т.е.

коэффициент

при x x

= xy и

x2 x1 = yx равен трем. Полученная квадратичная форма имеет вид

2x2 +5y2 +3xy +3yx , т.е. 2x2 +6xy +5y2

- четвертый ответ верный.

Тестовое задание 2.46

Квадратичная форма 7x2	−12x x	+λx2	−6
1	1 2	2	−6
является положительно определенной			5
при λ равном…			3
			6

Решение. Воспользуемся критерием Сильвестра, сформулированным в п. 2.1.5, являющимся критерием положительной определенности квадратичной формы. Найдем матрицу квадратичной формы и главные миноры этой матрицы. Условие их положительности обеспечит положительную определенность данной квадратичной формы. По определению: a11 – это коэффициент при

x x = x2			( a = 7 ), a	22	– это коэффициент при							x	x	= x2	( a = λ),	a = a	21	-
1	1	1	11	22							2		2	2	22	12	21
это половина коэффициента при x1 x2								( a12 = −6). Итак,
								7	−6
							A =	−6	λ	.
								−6	λ
	Главные миноры матрицы A - это
			M1 =			7	= 7 и M 2 =		7	−6		= 7λ −36 .


									−6 λ
									−6 λ
	Если M1 и M2 положительны, то данная квадратичная форма положи-
тельно		определена.			Очевидно, M1 = 7 > 0 ,							если		M 2 = 7λ −36 > 0 ,			т.е.
λ >	36	=5	1 , то квадратичная форма положительно определена. Из предложен-
	7		7							1 .
ных вариантов нам подходит λ = 6 , т.к. 6 >5										1 .
										7

Ответ: λ = 6 .

3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

3.1.Краткие теоретические сведения

3.1.1.Основные задачи аналитической геометрии на плоскости

Рассмотрим на плоскости прямоугольную систему координат xOy . К ос-

новным (простейшим) задачам аналитической геометрии на плоскости относят три задачи.

Задача 1. Нахождение расстояния между двумя точками.

Расстояние d между точками A(x1; y1 ) и B(x2 ; y2 ) плоскости Oxy находится по формуле

	d =	AB	= (x	− x )2	+(y	2	− y )2 .		(3.1)
	d =	AB	= (x	− x )2	+(y		− y )2 .		(3.1)
			2	1			1
	Задача 2. Деление отрезка в данном отношении.
	Определяются координаты точки M (x; y), которая делит отрезок								AB ,
соединяющий точки A(x1; y1 ) и B(x2 ; y2 )					в заданном отношении			λ > 0	, т.е.
AM	= λ (рис. 3.1).
MB
	у	A (x1 ; y1 )

			M (x; y )
				B (x2 ; y2 )
О				х
	Рис. 3.1
Справедливы формулы
x =	x1 +λx2	и	y =	y1 +λy2	.	(3.2)
	1 +λ
				1 +λ

Если M (x; y)–середина отрезка AB , то λ =1 и формулы (3.2) примут вид

x =	x1 + x2	и	y =	y1 + y2	.	(3.2′)

2			2

Задача 3. Вычисление площади треугольника.								A(x1; y1 ),
Площадь S треугольника,				вершины		которого – точки
B(x2 ; y2 ), C (x3 ; y3 ), находится по формуле
1			(x2 − x1 ) (y2 − y1 )

S =		\|	(x	− x )	(y	− y )	\|.	(3.3)
	2
			3	1	3	1

3.1.2. Полярная система координат

Полярная система координат задается точкой О, называемой полюсом, лучом Op , называемым полярной осью, на которой указана единица масштаба.

Положение на плоскости точки М, не совпадающей с полюсом О, определяется двумя числами: ее расстоянием r от полюса О и углом ϕ , где ϕ - это

угол между полярной осью и вектором OM (рис. 3.2).

Числа r и ϕ называются полярными координатами точки М, при этом r

называют полярным радиусом, ϕ – полярным углом. Значения,	принимаемые
полярными координатами, находятся в промежутках: 0 ≤ r < ∞	и 0 ≤ϕ < 2π

(или −π <ϕ ≤π ).

Если совместить начало декартовой системы координат с полюсом, полярную ось с осью Ox (рис. 3.3), то прямоугольные координаты x, y и поляр-

ные координаты r, ϕ точки М будут связаны формулами:

x = r cosϕ , y = r sinϕ , r = x2 + y2 , cosϕ =		x	, sinϕ =	y	. (3.4)
	x2	+ y2		x2 + y2

	у	M
	r	r
		r
	ϕ	ϕ
		ϕ
О 1	p	х
О 1	p	p
	О

Рис. 3.2	Рис. 3.3

Источник: https://studfile.net/preview/16563650/

, могут быть найдены




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога