Материал: Решение тестовых заданий федерального интернет-экзамена по математике. Часть 1. Алгебра и геометрия. Колпачёв В.Н., Дементьева А.М
3.1.3. Прямая на плоскости
Уравнение прямой линии на плоскости можно записать по-разному, в зависимости от имеющейся информации об этой прямой.
Определение 3.1. Если прямая неперпендикулярна оси Ox и составляет угол α с положительным направлением оси Ox , измеренный от оси Ox против часовой стрелки, то k = tgα называют угловым коэффициентом прямой.
1. Если известен угловой коэффициент k прямой и отрезок, отсекаемый прямой на оси Oy , равный b (рис. 3.4), то уравнение прямой имеет вид
y = kx +b |
(3.6) |
и называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.
y
N (0 ; b ) |
L |
|
|
b |
|
α |
|
0 |
x |
Рис. 3.4 |
|
2. Если известен угловой коэффициент k |
прямой и известна точка |
M0 (x0; y0 ), лежащая на прямой (рис. 3.5), то уравнение прямой имеет вид |
|
y − y0 = k (x − x0 ) |
(3.7) |
и называется уравнением прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
y |
L |
|
M 0 (x0 ; y0 )
α
0 |
x |
Рис. 3.5
71
Определение 3.2. Любой вектор, перпендикулярный прямой, называется
нормальным вектором прямой.
3. Если известен нормальный вектор N {A; B} прямой и прямая проходит через заданную точку M0 (x0; y0 ) (рис. 3.6), то ее уравнение имеет вид
A(x − x0 )+ B(y − y0 )= 0 |
(3.8) |
и называется уравнением прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
y
L |
N {A; B} |
M0 (x0; y0) |
M (x; y)
0 |
x |
Рис. 3.6
4. Уравнение любой прямой, имеющей нормальный вектор N {A; B}, за-
писывается в виде |
|
Ax + By +C = 0 |
(3.9) |
и называется общим уравнением прямой.
А. Если C = 0 , то Ax + By = 0
начало координат (рис. 3.7).
Б. Если A = 0 , то By +C = 0
раллельна оси Ox (рис. 3.8).
В. Если B = 0 , то Ax +C = 0
раллельна оси Oy (рис. 3.9).
Г. Если A =C = 0 , то By = 0 Д. Если B =C = 0 , то Ax = 0
y = − BA x – прямая L проходит через
y = −C |
|
y = const |
– прямая L па- |
B |
|
|
|
x = −C |
|
x = const |
– прямая L па- |
A |
|
|
|
y = 0 – ось Ox .
x = 0 – ось Oy .
72
y |
y |
L |
L |
|
−C D |
0 |
x |
Рис. 3.7 |
Рис. 3.8 |
5. Если прямая L проходит через точки
y
L
|
−C A |
0 |
x |
Рис. 3.9
M1 (x1; y1 ) и M2 (x2; y2 )
(рис. 3.10), то уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, будет имеет вид
x − x1 |
= |
y − y1 |
. |
(3.10) |
|||
|
|
||||||
x |
− x |
|
y |
2 |
− y |
|
|
2 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
y
L
M1 (x1; y1)
M2 (x2; y2)
0 |
x |
Рис. 3.10
6.Если прямая не проходит через начало координат и пересекает ось Oy
вточке M1 (0;b), а ось Ox – в точке M2 (a;0) (рис. 3.11), то ее уравнение имеет вид
x |
+ |
y |
=1, |
(3.11) |
|
a |
b |
||||
|
|
|
и называется уравнением прямой в отрезках.
y
L |
M1 (0; b) |
|
|
b |
M2 (а; 0) |
|
|
0 |
x |
|
а |
Рис. 3.11
73
Определение 3.3. Любой вектор, параллельный прямой, называется на-
правляющим вектором прямой.
7. Если прямая проходит через заданную точку M0 (x0; y0 ) и ее направ-
ляющий вектор S {m; n} (рис. 3.12), то ее уравнение можно записать в виде
x − x0 |
= |
y − y0 |
. |
(3.12) |
m |
|
|||
|
n |
|
||
Оно называется каноническим уравнением прямой.
y
L |
|
{m; n} |
S |
M0 (x0; y0)
M (x; y)
0 |
x |
Рис. 3.12
Прямую, рассмотренную на рис. 3.12, можно задать также параметриче-
ски:
x = x0 |
+tm, |
(3.13) |
|
y = y0 +tn, |
|||
|
|||
где t - это параметр ( −∞ <t < ∞). Уравнения (3.13) называются параметриче-
скими уравнениями прямой.
Угол между двумя прямыми.
Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
|
|
|
Если известны угловые коэффициенты прямых L1 и L2 , равные k1 = tgα1 |
|||||
и |
k |
2 |
= tgα |
2 |
(рис. 3.13), то угол ϕ ≠ |
π между прямыми L |
и L (угол, на кото- |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рый нужно повернуть против часовой стрелки вокруг точки пересечения прямую L1 до совмещения с прямой L2 ) определяется по формуле
tgϕ = |
|
|
k2 −k1 |
|
. |
(3.14) |
||
1 |
|
|
||||||
|
+ k |
2 |
k |
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
74
y |
L2 |
L1 |
|
|
ϕ |
|
α1 |
α2 |
0 |
|
х |
|
|
|
Рис. 3.13 |
|
|
|
Если прямые L1 и L2 параллельны или совпадают, то |
|
|||||
|
|
|
k2 = k1 . |
|
|
(3.15) |
Если же прямые L1 и L2 перпендикулярны, то |
|
|||||
k |
2 |
k |
= −1 или k = − |
1 |
. |
(3.16) |
|
||||||
|
1 |
1 |
k2 |
|
||
|
|
|
|
|
||
Для прямых, заданных общими уравнениями, проще найти косинусы углов между ними. Если L1 : A1x + B1 y +C1 = 0 , а L2 : A2 x + B2 y +C2 = 0 , то
cosϕ = ± |
|
A1 A2 |
+ B1B2 |
|
. |
(3.14′) |
A2 |
+ B2 |
A2 |
+ B2 |
|||
|
1 |
1 |
2 |
2 |
|
|
Условие параллельности (или совпадения) прямых имеет вид пропорции:
|
A1 |
= |
B1 |
, |
(3.15′) |
|
A |
B |
|||
|
|
|
|
||
2 |
|
2 |
|
|
|
а равенство |
|
|
|
|
|
A1 A2 + B1B2 = 0 |
(3.16′) |
||||
является условием перпендикулярности прямых.
Расстояние от точки до прямой
Если заданы точка M0 (x0; y0 ) и прямая L Ax + By +C = 0 (рис. 3.14), то расстояние d от точки ется по формуле
d = Ax0 + By0 +C .
A2 + B2
своим общим уравнением M0 до прямой L определя-
(3.17)
75