Материал: Решение тестовых заданий федерального интернет-экзамена по математике. Часть 1. Алгебра и геометрия. Колпачёв В.Н., Дементьева А.М
y
L |
M 0 |
|
n {A; B} |
||
|
||
|
d |
|
0 |
х |
Рис. 3.14
3.1.4. Кривые второго порядка
Кривыми второго порядка являются: окружность, эллипс, гипербола и парабола.
Определение 3.4. Окружностью называется геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности.
Уравнение окружности радиуса R с центром в точке M0 (x0; y0 )
(рис. 3.15) имеет вид. |
|
|
(x − x |
)2 +(y − y )2 = R2 . |
(3.18) |
0 |
0 |
|
Частным случаем уравнения (3.18) является уравнение |
|
|
|
x2 + y2 = R2 , |
(3.19) |
описывающее окружность с центром в начале координат (рис. 3.16).
у
у
M
M0 R
R
х
0 |
х |
Рис. 3.16
Рис. 3.15
76
Определение 3.5. Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и
F2 , называемых фокусами, есть величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами.
В системе координат, у которой начало расположено в середине отрезка F1F2 и ось Ox проходит через фокусы (рис. 3.17), уравнение эллипса имеет вид
|
|
|
|
|
x2 |
+ |
y2 |
=1 |
|
|
(3.20) |
|
|
|
|
|
a2 |
b2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и называется каноническим уравнением эллипса. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B2 (0;b) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
M (x; y) |
|
|
|
|
|
|
|
r1 |
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
(−a;0) |
F |
(−c;0) |
0 |
|
|
|
F |
(c;0) |
A |
(a;0) х |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
B1 (0;−b)
Рис. 3.17
В уравнении (3.20) 2а и 2b называются большой и малой осями эллипса.
Фокусное расстояние F1F2 обозначают 2с. Справедливо соотношение
c = a2 −b2 .
Если M (x; y) – произвольная точка эллипса (см. рис. 3.17), то длины отрезков F1M = r1 и F2M = r2 называются фокальными радиусами точки
M (x; y).
77
Форма эллипса характеризуется отношением |
|
||
|
c |
=ε , |
(3.21) |
|
a |
||
|
|
|
|
называемым эксцентриситетом эллипса, причем 0 <ε <1.
Если эллипс симметричен относительно координатных осей, но его фокусы лежат на оси ординат, то его уравнение имеет вид
y2 + x2 =1. a2 b2
Если оси симметрии эллипса параллельны координатным осям Ox и Oy , то его уравнение имеет вид
(x − x0 )2 |
+ |
(y − y0 )2 |
=1 или |
(y − y0 )2 |
+ |
(x − x0 )2 |
=1, |
|
a2 |
b2 |
|||||||
a2 |
|
b2 |
|
|
|
где x0 и y0 – координаты центра эллипса.
Определение 3.6. Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2 , называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая,
чем расстояние между фокусами.
В системе координат, у которой начало расположено в середине отрезка F1F2 и ось OX проходит через фокусы (рис. 3.18), уравнение гиперболы имеет
вид
x2 |
− |
y2 |
=1, |
(3.22) |
|
a2 |
b2 |
||||
|
|
|
и называется каноническим уравнением гиперболы.
Гипербола (3.22) имеет две асимптоты, определяемые уравнениями
y = b x и |
y = −b x . |
(3.23) |
a |
a |
|
Параметры а и b – действительная и мнимая полуоси гиперболы соответ-
ственно, с – половина фокусного расстояния F1F2 . Справедлива формула
c = a2 +b2 .
78
Рис. 3.18
Так же, как у эллипса, расстояния от любой точки M (x; y) гиперболы до фокусов обозначаются r1 и r2 и называются фокальными радиусами точки M (x; y). Форма гиперболы тоже характеризуется эксцентриситетом ε , где
ac =ε , ε >1.
Если начало координат – центр гиперболы и фокусы лежат на оси ординат, то уравнение гиперболы имеет вид
y2 − x2 =1. a2 b2
Если оси симметрии гиперболы параллельны координатным осям Ox и Oy , то ее уравнение имеет вид
79
(x − x0 )2 |
− |
(y − y0 )2 |
=1 или |
(y − y0 )2 |
− |
(x − x0 )2 |
=1, |
|
a2 |
b2 |
|||||||
a2 |
|
b2 |
|
|
|
где x0 и y0 – координаты центра гиперболы.
Определение 3.7. Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от некоторой точки плоскости, называемой фокусом, и некоторой прямой, называемой директрисой.
В системе координат, у которой положительная полуось абсцисс проходит через фокус параболы перпендикулярно директрисе и начало координат лежит на параболе (рис. 3.19), уравнение параболы имеет вид
y2 = 2 px |
(3.24) |
и называется каноническим уравнением параболы.
Здесь р ( p > 0 ) – расстояние от фокуса F до директрисы, называемое па-
раметром параболы. Отрезок r = MF – фокальный радиус точки M (x; y), ле-
жащей на параболе. Уравнения
y2 = −2 px , x2 = −2 py и x2 = 2 py (p > 0)
также определяют параболы, вид которых изображен на рис. 3.20 – 3.22.
Если ось симметрии параболы параллельна оси абсцисс или оси ординат, то уравнение параболы имеет вид
(y − y0 )2 = ±2 p(x − x0 ) или (x − x0 )2 = ±2 p(y − y0 ),
где x0 и y0 координаты вершины параболы.
Рис. 3.19 |
Рис. 3.20 |
80