Материал: Решение тестовых заданий федерального интернет-экзамена по математике. Часть 1. Алгебра и геометрия. Колпачёв В.Н., Дементьева А.М
Рис. 3.21 |
Рис. 3.22 |
3.1.5. Прямая и плоскость в пространстве
Плоскость в пространстве
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат xOyz . Уравнение плоскости Q, проходящей через заданную точку M0 (x0; y0; z0 ) перпендикулярно вектору N {A; B;C} (рис. 3.23) имеет вид
A(x − x0 )+ B(y − y0 )+C (z − z0 )= 0 |
(3.25) |
и называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку M0 (x0; y0; z0 ) перпендикулярно нормальному вектору N {A; B;C}.
Если N {A; B;C} – нормальный вектор плоскости, то уравнение такой плоскости – это линейное уравнение вида
Ax + By +Cz + D = 0 , |
(3.26) |
называемое общим уравнением плоскости.
81
z
Q
N {A; B; C}
M 0 (x0 ; y0 ; z0 )
O |
y |
x
Рис. 3.23
А. Если D = 0 , т.е. уравнение плоскости имеет вид Ax + By +Cz = 0 , то
плоскость Q проходит через начало координат (рис 3.24).
Б. Если A = 0 , т.е. уравнение плоскости имеет вид By +Cz + D = 0 , то
плоскость Q перпендикулярна плоскости yOz или, что тоже самое, плос-
кость Q параллельна оси Ox (рис 3.25). Можно сделать вывод: если в уравне-
нии плоскости отсутствует какая-нибудь переменная, то плоскость будет параллельна координатной оси того же названия, что и отсутствующая переменная.
В. Если |
A = D = 0 , то плоскость By +Cz = 0 |
проходит через ось Ox |
||
(рис. 3.26). Аналогично уравнения Ax +Cz = 0 (при |
B = D = 0 ) и Ax + By = 0 |
|||
(при C = D = 0 ) описывают плоскости, проходящие соответственно через оси |
||||
Oy и Oz . |
|
|
|
|
Г. Если |
A = B = 0 , то плоскость Q |
параллельна плоскости |
xOy |
|
(рис. 3.27). Аналогично, уравнения Ax + D = 0 |
(при B =C = 0 ) и By + D = 0 (при |
|||
A =C = 0 ) задают плоскости, соответственно параллельные плоскостям |
yOz и |
|||
xOz .
Д. Если A = B = D = 0 , то плоскость имеет уравнение z = 0 , т.е. плос-
кость Q – это координатная плоскость xOy (рис. 3.28). Аналогично плоско-
сти y = 0 и x = 0 – это плоскости xOz и yOz соответственно.
82
z
z
Q
O
y
O
y
Q
x
Рис. 3.24 |
Рис. 3.25 |
z
z
Q
y |
z = − |
D |
C |
||
O |
|
|
|
O |
|
y
Q
x
Рис. 3.26 |
Рис. 3.27 |
z
O
y
Q
x
Рис. 3.28
83
Уравнение |
плоскости, |
проходящей |
через три заданные |
точки |
||||
M1 (x1; y1; z1 ), M2 |
(x2; y2; z2 ) и |
M3 (x3; y3; z3 ), не лежащие на одной прямой |
||||||
(рис. 3.29), имеет вид |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x − x1 |
y − y1 |
z − z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x2 − x1 |
y2 − y1 |
z2 − z1 |
|
= 0 . |
(3.27) |
|
|
|
x3 − x1 |
y3 − y1 |
z3 − z1 |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
Q |
|
||
|
|
|
|
M 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 3 |
M 2 |
|
|
|
|
O 
y
x
Рис. 3.29
Если плоскость отсекает на осях Ox , Oy и Oz соответственно отрезки а,
b и с не равные нулю, т.е. проходит через три точки |
A(a;0;0), B(0;b;0) и |
||||||
C (0;0;c) (рис. 3.30), то уравнение плоскости имеет вид |
|
||||||
|
x |
+ |
y |
+ |
z |
=1 |
(3.28) |
|
a |
b |
|
||||
|
|
|
c |
|
|||
и называется уравнением плоскости в отрезках на осях. z
C (0; 0; c )
Q
O
B (0; b; 0 ) y
A (a; 0; 0 )
x
Рис. 3.30
84
Угол между двумя плоскостями.
Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
Если известны нормальные векторы N1{A1; B1;C1} и N2 {A2; B2;C2} плоскостей Q1 и Q2 , угол ϕ между нормальными векторами равен одному из углов
между плоскостями (рис. 3.31).
Q1
N1 {A1; B1; C1}
N1
N 2 N 2 {A2 ; B2 ; C2 }
ϕ
ϕ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.31 |
|
|
|
|
Поэтому косинус угла между плоскостями можно найти по формуле |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1A2 + B1B2 +C1C2 |
|
|
|
cosϕ = |
|
|
N |
1 |
|
|
|
N2 |
|
|
= |
|
|
. |
(3.29) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
N1 |
|
|
|
N2 |
|
|
|
|
A12 + B12 +C12 A22 + B22 |
+C22 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Условие перпендикулярности двух плоскостей имеет вид |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1A2 + B1B2 +C1C2 = 0 , |
|
|
(3.30) |
|||||||
а условие параллельности двух плоскостей –
A1 |
= |
|
B1 |
= |
C1 |
. |
(3.31) |
|
A |
B |
|
||||||
|
|
|
C |
2 |
|
|
||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
85 |
|
|
|
|
|
|