Материал: Решение тестовых заданий федерального интернет-экзамена по математике. Часть 1. Алгебра и геометрия. Колпачёв В.Н., Дементьева А.М
Каноническое уравнение эллипсоида имеет вид
x2 |
+ |
y2 |
+ |
z2 |
=1, |
(3.43) |
|
a2 |
b2 |
c2 |
|||||
|
|
|
|
где а, b и с – полуоси эллипсоида (рис. 3.41).
Если все полуоси эллипсоида различны, то его называют трехосным.
Рис. 3.40 |
Рис. 3.41 |
Различают два вида гиперболоидов: однополостный и двуполостный. Каноническое уравнение однополостного гиперболоида (рис. 3.42) имеет
вид
x2 |
+ |
y2 |
− |
z2 |
=1. |
(3.44) |
|
a2 |
b2 |
c2 |
|||||
|
|
|
|
Каноническое уравнение двуполостного гиперболоида (рис. 3.43) имеет
вид
− |
x2 |
− |
y2 |
+ |
z2 |
=1. |
(3.45) |
|
a2 |
b2 |
c2 |
||||||
|
|
|
|
|
Различают два вида параболоидов: эллиптический и гиперболический. Каноническое уравнение эллиптического параболоида (рис. 3.44) имеет
вид
x2 |
+ |
y2 |
= 2z , |
(3.46) |
|
p |
q |
||||
|
|
|
где p q > 0 .
91
Каноническое уравнение гиперболического параболоида (рис. 3.45) имеет
вид
x2 |
− |
y2 |
= 2z , |
(3.47) |
|
p |
q |
||||
|
|
|
где p q > 0 .
Рис. 3.42 |
Рис. 3.43 |
Рис. 3.44 |
Рис. 3.45 |
|
92
Каноническое уравнение конуса (конической поверхности) (рис. 3.46)
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ |
y2 |
− |
z2 |
= 0 . |
(3.48) |
|
a2 |
b2 |
c2 |
||||
|
|
|
|
|
|||
Рис. 3.46
Определение 3.9. Цилиндрической поверхностью, или цилиндром, назы-
вается поверхность, образованная движением прямой L, которая перемещается в пространстве параллельно самой себе, пересекая некоторую кривую K (рис. 3.47). При этом кривая K называется направляющей цилиндра, а прямая L
– его образующей.
L
К
Рис. 3.47
93
Если направляющая цилиндрической поверхности лежит в координатной плоскости, а образующие перпендикулярны этой плоскости, то уравнение этой поверхности совпадает с уравнением ее направляющей.
Если направляющая – это линия второго порядка, то цилиндрическая поверхность – это поверхность второго порядка, название которой порождается названием направляющей.
Например, если направляющей служит эллипс в плоскости xOy
x2 |
+ |
y2 |
=1, |
(3.49) |
|
a2 |
b2 |
||||
|
|
|
то соответствующая цилиндрическая поверхность называется эллиптическим цилиндром (рис. 3.48), который описывается уравнением (3.48).
Частным случаем (при a =b ) эллиптического цилиндра является круговой цилиндр. Его уравнение имеет вид
x2 + y2 = R2 ,
где R = a .
Если направляющей служит гипербола в плоскости xOy |
|
|||||
|
x2 |
|
− |
y2 |
=1, |
(3.50) |
|
a2 |
|
b2 |
|||
|
|
|
|
|
||
то цилиндрическая поверхность |
называется гиперболическим |
цилиндром |
||||
(рис. 3.49). Он описывается уравнением (3.50). |
|
|||||
Если направляющая – парабола в плоскости xOy |
|
|||||
|
|
|
|
y2 = 2 px , |
(3.51) |
|
то соответствующая цилиндрическая поверхность называется параболическим цилиндром (рис. 3.50), а уравнение (3.51) описывает этот цилиндр.
Рис. 3.48 |
Рис. 3.49 |
Рис. 3.50 |
|
94 |
|
3.1.7. Кривизна плоской кривой
Определение 3.10. Если на плоскости дана окружность радиуса R , то
число
K = R1
называется кривизной окружности в каждой ее точке.
Если в плоскости xOy дана линия L , являющаяся графиком дважды
дифференцируемой функции, то в каждой точке M (x; f (x)) |
этого графика |
|||||||||
можно определить его кривизну K ( K (x) ) по формуле |
|
|||||||||
K = |
|
f ′′ |
(x) |
|
|
|
. |
(3.52) |
||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(1 +(f ′(x))2 ) |
3 |
|||||||||
|
2 |
|
|
|||||||
Определение 3.11. Если K ≠ 0 , то число |
|
|
|
|||||||
|
R = |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
называется радиусом кривизны линии L в точке М.
Если в точке М провести нормаль к линии L и отложить на нормали от точки М расстояние, равное радиусу кривизны, в сторону вогнутости линии, то на нормали получим точку С, называемую центром кривизны линии L в точке М.
Определение 3.12. Круг с центром в точке С и радиусом, равным R, называется кругом кривизны линии в точке М (рис. 3.51).
Множество всех центров кривизны данной линии L образуют новую линию, называемую эволютой линии L. По отношению к своей эволюте сама линия L называется эвольвентой или инволютой (или разверткой).
Если линия L задана параметрически ( x = x(t) , |
|
y = y(t) ) и функции x(t) и |
||||||
y(t) дважды дифференцируемы, |
то кривизна |
|
в точке M (x(t); y(t)) |
|||||
((x′(t ))2 +(y′(t ))2 ≠ 0)вычисляется по формуле |
|
|
||||||
K = |
|
x′(t )y′′(t )− x′′(t )y′(t ) |
|
|
|
. |
(3.53) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3 |
|
|
|
|||
|
|
((x′(t ))2 +(y′(t ))2 )2 |
|
|
||||
|
|
|
95 |
|
|
|
|
|