Материал: Решение тестовых заданий федерального интернет-экзамена по математике. Часть 1. Алгебра и геометрия. Колпачёв В.Н., Дементьева А.М
y
M (x; y)
R = K1
y = f (x) |
C |
O |
x |
Рис. 3.51
3.2.Тестовые задания и их решение
3.2.1.Основные задачи аналитической геометрии на плоскости
Втестовых заданиях 3.1 и 3.2 рассматриваются точки на числовой оси, имеющие одну координату.
Тестовое задание 3.1
Дана координатная ось. Правильными утверждениями являются…
96
координаты двух точек координатной оси, лежащих по разные стороны от начала отсчета, всегда имеют разные знаки
начало координат может лежать на отрезке, соединяющем две точки координатной оси, имеющие отрицательные координаты 
из двух различных точек на координатной оси, имеющих отрицательные координаты, дальше от начала координат лежит точка, имеющая меньшую коорди-
нату 
координата точки на оси равна
расстоянию от этой точки до начала отсчета
Решение. Первый и третий ответы верные. Второй ответ очевидно неверен, так как по разные стороны от начала координат лежат точки, имеющие координаты разных знаков. Четвертый ответ неверен, так как координаты точки равны расстоянию от этой точки до начала отсчета, взятому со знаком «+» или «–» в зависимости от того, по какую сторону от начала отсчета лежит эта точка, т.е. есть две точки, лежащие на фиксированном расстоянии d от начала отсчета, их координаты равны d и −d .
Тестовое задание 3.2
Даны две точки на координатной оси: 
M (a) и N (a −2), где а – отрицатель-
ное число. Правильными утвержде- 
ниями являются…
начало координат может лежать на отрезке MN
точка М лежит дальше от начала координат, чем точка N
при любом значении а точка N лежит слева от точки М расстояние между точками М и N равно 2
Решение. Так как координаты точек уменьшаются при движении точек по числовой оси в направлении противоположном направлению оси и (a − 2)< a , то третье утверждение верно. Так как расстояние между точками
A(x1 ) и B (x2 ) равно модулю разности координат точек, т.е. AB = x2 − x1 , то верно четвертое утверждение NM = a −(a − 2) = 2 .
По условию a < 0 , а значит, (a − 2)< 0 – обе точки лежат по одну сторо-
ну от начала координат. Делаем вывод, что первое утверждение неверно. Второе утверждение тоже неверно, так как расстояние от точки M (a) до начала
отсчета равно a , а от точки N (a − 2)= a + 2 (a < a + 2).
При решении тестовых заданиях 3.3 – 3.9 используются формулы (3.2′) определения координат середины отрезка.
Тестовое задание 3.3
Даны точки A(2;−4) и B(−2;6). Тогда
координаты точки M , симметричной точке B относительно точки A , равны…
(6;−14)
(−6;16)
(−14;6) 
(16;−6)
97
Решение. Если точка M (x; y) симметрична точке B(−2;6) относительно точки A(2;−4), то это означает, что точка А – середина отрезка ВМ. По форму-
ле (3.2′)
xA |
= |
xB + xM |
, |
yA |
= |
yB + yM |
, |
|
|
||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
||
т.е.
xM = 2xA − xB , yM = 2 yA − yB .
Имеем
xM = 2 2 + 2 = 6 , yM = 2 (−4)−6 = −14 ,
т.е. верным является первый ответ.
Можно было не находить координаты точки M (x; y), а, вычисляя полу-
суммы координат точки В и предлагаемых точек М, сверять их с координатами точки А.
Тестовое задание 3.4
Если точка A(7; 1) – начало отрезка 2
АВ и M (5; 0) – его середина, то сумма координат точки В равна …
Решение. В этой задаче точка M (x; y) – середина отрезка АВ, поэтому по формуле (3.2′)
|
|
x |
|
= |
xA + xB |
, |
y |
M |
= |
yA + yB |
|
, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
M |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
+ x |
|
= 2x |
|
|
x |
|
= 2x |
|
|
− x |
A , |
|||
|
A |
|
B |
|
M , откуда |
B |
|
M |
|
|||||||
yA + yB = 2 yM |
|
|
yB = 2 yM − yA |
|||||||||||||
поэтому, складывая эти равенства, имеем
xB + yB = 2(xM + yM )−(xA + yA )= 2(5 + 0)−(7 +1)= 2 .
Ответ: 2.
Тестовое задание 3.5
Точка C (−5; −2) – середина отрезка 
AB . Тогда координаты точек A и B могут быть равны… 
A(−8; −2), B(−2; −2) A(10; −5), B(−20; 1) A(−8; 2), B(−2; 2) A(−8; −3), B(−2; −1)
98
Решение. В этой задаче по формулам (3.2′) определяем полусуммы координат предлагаемых точек A и B . Верны те ответы, где найденные полусуммы совпадают с координатами точки C (−5; −2).
Впервом ответе: x = −82− 2 = −5, y = −22− 2 = −2 – ответ верный. Во втором ответе: x = 10 −2 20 = −5, y = −52+1 = −2 – ответ верный.
Втретьем ответе: x = −82− 2 = −5, y = 2 +2 2 = 2 ≠ −2 – ответ неверный.
Вчетвертом ответе: x = −82− 2 = −5, y = −32−1 = −2 – ответ верный.
Тестовое задание 3.6
Даны точки A(1; 10) и B(−13; 2). То- 0
гда сумма координат середины отрезка АВ равна…
Решение. Найдем координаты середины M (x; y) отрезка АВ по форму-
лам (3.2′): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
xA + xB |
= |
1 −13 |
= −6 , |
y = |
yA + yB |
= |
10 + 2 |
= 6 , |
||
|
|
|
|
2 |
|||||||
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||
откуда x + y = −6 + 6 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тестовое задание 3.7 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Даны точки A(−10; 5) |
и B(6; −7). |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
Тогда абсцисса середины отрезка АВ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
−2 |
|
|
|
|
|||||
равна… |
|
|
|
|
|
−9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Здесь найдем абсциссу х середины отрезка АВ, используя фор-
мулы (3.2′):
x = xA +2 xB = −102+ 6 = −2 ,
т.е. правильный ответ второй.
99
Тестовое задание 3.8
Точки A(2; −6), B(4; −2) и C (8; −2) 1
являются последовательными вершинами параллелограмма. Тогда сумма координат точки пересечения диагоналей равна…
Решение. По условию А, В, С – последовательные вершины параллелограмма, поэтому А и С являются противоположными вершинами, т.е. концами одной диагонали. Как известно, диагонали в точке пересечения делятся пополам, поэтому эта точка является серединой отрезка АС. Найдем ее координаты (x; y) по формулам (3.2′):
x = xA +2 xC = 2 +2 8 = 5 , y = yA +2 yC = −62− 2 = −4 ,
откуда x + y = 5 − 4 =1. Ответ: 1.
Тестовое задание 3.9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Даны вершины |
треугольника |
ABC : |
|
|
|
|
(−2; 4) |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||
A(−3; 2), B(1; 2), C (−1; −2), CD – |
|
|
|
|
(−1; 2) |
|
||||||
его медиана. Тогда координаты точки |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
(2; 0) |
|
||||||||
D равны… |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−2; 0) |
|
|
Решение. По условию CD – медиана |
|
|
ABC . Поэтому точка D(x; y) – это |
|||||||||
середина отрезка AB . По формулам (3.2′) |
|
|
|
|
|
|||||||
x = |
xA + xB |
|
= −3 +1 = −1, y = |
yA + yB |
|
= |
|
2 + 2 |
= 2 |
, т.е. D (−1; 2). |
||
|
|
2 |
||||||||||
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||||
Верен второй ответ.
При решении тестовых заданиях 3.10 – 3.16 используется формула (3.1) расстояния между двумя точками.
Тестовое задание 3.10
Даны две смежные вершины квадрата: |
|
10 |
|
A(5; 6) |
и B(−2; 5). Тогда площадь |
|
|
|
50 |
||
этого квадрата равна… |
|
||
|
10 |
||
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
100