Материал: Решение тестовых заданий федерального интернет-экзамена по математике. Часть 1. Алгебра и геометрия. Колпачёв В.Н., Дементьева А.М
Решение. Вычислим угловые коэффициенты прямых так же, как и в задании 3.18. На прямой u видны точки (1;2) и (0;0), поэтому
ku = 00−−12 = 2 .
Прямая h параллельна оси Ox , поэтому kh = 0 . Прямая g проходит через точки (0;1) и (3;0), поэтому
kg |
= |
|
0 −1 |
|
= − |
1 |
. |
|||
3 −0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|||||
Наконец, прямая f проходит через точки (−1;2) и (1;0), поэтому |
||||||||||
k f |
= |
|
0 − 2 |
= −1. |
||||||
1 +1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Сравниваем значения: −1 < − |
|
1 |
|
< 0 < 2, т.е. k f < kg < kh < ku или, наоборот, |
||||||
3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
ku > kh > kg > k f , что соответствует нумерации 1, 2, 3, 4.
Тестовое задание 3.20
Даны графики прямых f , g, h, u : |
f |
|
g
h u
Тогда положительный угловой коэффициент имеют прямые…
Решение. Угловой коэффициент прямой положителен, если угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox острый. Видно, что под острым углом наклонены к Ox прямая u и прямая f (верны первый и четвертый
ответы).
106
Тестовое задание 3.21
Даны графики прямых f , g, h, u : |
f |
|
g
h u
Тогда отрицательный угловой коэффициент имеют прямые…
Решение. Угловой коэффициент прямой отрицателен, если угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox тупой. Видно, что под тупым углом наклонены к Ox прямая f и прямая g (верны первый и второй ответы).
Тестовое задание 3.22
Даны графики прямых f , g, h, u : |
υ232 |
0 |
|
|
υ |
|
|
|
υ2 υ2 |
− |
1 |
|
3 |
||
|
υ222 |
−2 |
|
|
υ |
2 |
|
|
υ212 |
|
|
|
υ |
|
|
|
υ |
1 |
|
|
|
|
|
|
υ242 |
3 |
|
|
|
|
|
Установите соответствие между прямыми
1.f
2.g
3.h
4.u
и значениями их угловых коэффициентов.
Решение. В этом задании снова нужно вычислить угловые |
коэффициен- |
||
ты. Прямая f проходит через точки (2;0) и (3;2), поэтому k f = |
2 −0 |
= 2 , что |
|
3 − 2 |
|||
|
|
||
107
соответствует четвертому ответу. Прямая g проходит через точки (1;2) и
(2;0), поэтому kg = 02−−12 = −2 , что соответствует третьему ответу. Прямая h
параллельна оси Ox , поэтому kh = 0 , что соответствует первому ответу. И, на-
конец, на прямой u видны точки (−2;0) |
и (1;1), т.е. ku = |
|
1 −0 |
= |
1 |
, что соответ- |
||
1 + 2 |
3 |
|||||||
ствует пятому ответу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тестовое задание 3.23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Прямая проходит через точки O(0; 0), |
|
− |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
B(25; 15). Тогда ее угловой коэффи- |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
циент равен… |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Две точки на прямой известны, поэтому (см. тестовое задание
3.18) kg = 1525 −−00 = 53 , что соответствует второму ответу.
Тестовое задание 3.24 |
|
|
|
|
Расстояние от точки A(1; 2) |
до пря- |
|
2 |
2 |
|
||||
мой 3x = 4 y равно… |
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
5
2 15
Решение. Воспользуемся формулой (3.17) (расстояние от точки до прямой), для чего приведем уравнение данной прямой к общему: 3x − 4 y = 0 . Те-
перь по формуле (3.17), где (x0 ; y0 ) – это точка A(1; 2), имеем
d = |
|
|
3 1 −4 2 |
|
|
= |
5 |
=1, |
|
|
|
||||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
5 |
|||
|
|
|
32 +(−4)2 |
|
||||
что соответствует второму ответу.
108
Тестовое задание 3.25 |
|
|
||
Ордината точки |
пересечения прямой |
|
|
1 |
|
|
|||
28x +14 y −28 = 0 |
с осью Oy равна… |
|
|
|
|
|
14 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
Решение. Точки, лежащие на оси Oy , имеют абсциссы, равные нулю, поэтому подставим в уравнение данной прямой x = 0 , получим y = 2 , что соответствует третьему ответу.
Тестовое задание 3.26 |
|
|
|
График прямой линии, заданной урав- |
|
BC = 0 |
|
|
|||
нением Ax + By +C = 0 |
, имеет вид |
|
|
|
BC < 0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
AB > 0 |
|
|
|
AB < 0 |
|
|
|
|
Правильным утверждением является…
Решение. В этом задании дано общее уравнение прямой (3.9). Данная прямая не перпендикулярна оси Ox ( B ≠ 0 ), поэтому ее уравнение можно привести к виду (3.6), выразив у через х. Получим уравнение
y = − |
A |
x − |
C |
. |
(3.54) |
|
|
||||
|
B B |
|
|||
В этом уравнении угловой коэффициент прямой k = − BA . Так как угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox острый, то k > 0 , т.е. − BA > 0
или BA < 0 , а значит, A и B разных знаков, т.е. четвертый ответ верный. Пря109
мая не проходит через начало координат, поэтому C ≠ 0 , значит, первый ответ неверен. Из уравнения (3.54) видна ордината точки пересечения прямой с Oy
(свободный член), равная −CB . По чертежу видно, что эта ордината отрица-
тельна, т.е. −CB < 0 , откуда CB > 0 , а значит, C и B одного знака. Поэтому вто-
рой ответ неверен. Третий ответ неверен, так как противоречит верному ответу.
Тестовое задание 3.27
Укажите правильное соответствие между уравнениями и типами уравнений прямой на плоскости
1.y +6 = −2(x +3)
2.−x3 + −y5 =1
3.2x −7 y +9 = 0
υ2 υ2 уравнение прямой с угловым коэффициентом
υ2 υ2 уравнение прямой, параллельной оси абсцисс
υ22υ2 уравнение прямой в отрезках на осях
υ21υ2 уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении
υ23υ2 общее уравнение прямой
Решение. Очевидно, первое уравнение вида (3.7) – четвертый ответ. Второе уравнение вида (3.11) – третий ответ. Третье уравнение вида (3.9) – пятый ответ.
Тестовое задание 3.28 |
|
|
|
|
|
|
|
Параметрическими уравнениями пря- |
|
x |
=t +12, |
||||
|
|||||||
|
|||||||
мой на плоскости являются уравне- |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
ния… |
|
y |
= −8 |
||||
|
|||||||
|
|||||||
|
|
|
y = x −19 |
||||
|
|
|
x + 4 y −7 = 0 |
||||
|
|
|
x +1 |
= |
y −3 |
|
|
|
|
||||||
|
|
9 |
4 |
|
|||
|
|
||||||
Решение. Для решения вспомним формулу (3.13). Ей соответствует первый ответ.
110