Материал: Решение тестовых заданий федерального интернет-экзамена по математике. Часть 1. Алгебра и геометрия. Колпачёв В.Н., Дементьева А.М

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Тестовое задание 3.50

Укажите соответствие между кривыми

эллипс

второго порядка и их уравнениями:

υ212

υ υ

гипербола

+ y2

υ232

222

парабола

υ242

окружность

2. 3x2 + y = 4

3. −

Решение. Рассмотрев канонические уравнения (3.19), (3.20), (3.22), (3.24)

кривых

второго порядка,

видим,

что

первое

уравнение

задает

эллипс

=1. Второе уравнение задает параболу x2

= −

(y − 4)

(см. уравнение

(x − x

)2 = ±2 p(y − y

), задающее параболу с вершиной в точке (x ; y

)). Тре-

тье

уравнение задает гиперболу

−

=1,

четвертое

– окружность

x2 + y2 = 9 .

Тестовое задание 3.51

Среди

уравнений

кривых

укажите

(x +

3)2

уравнения эллипса.

+(y −4)

= 49

3x2 +6 y = 0

−

Решение. Сравнивая уравнения, предлагаемые в ответах, с каноническим уравнением эллипса (3.20), видим, что в третьем ответе каноническое уравне-

ние

эллипса

=1. Уравнение второго ответа задает параболу

(

3 )2

y = −

, четвертое – гиперболу

−

=1, т.е. второй и четвертый ответы не

подходят. Первое уравнение, разделив обе его части на 49, можно записать в

121

виде	(x +3)2	+	(y − 4)2	=1. Следовательно, первый ответ тоже задает эллипс,
	(14)2		72

центр которого в точке (−3; 4), а полуоси a =14 и b = 7 .

Тестовое задание 3.52

Если C (−1; −1) – центр окружности, которая проходит через точку A(3; 2),

то уравнение этой окружности имеет вид…

(x +1)2 +(y +1)2 =5

(x −1)2 +(y −1)2 = 25 (x +1)2 +(y +1)2 = 25

(x −3)2 +(y −2)2 = 25

Решение. Воспользуемся уравнением (3.18) и возьмем x0 = −1, y0 = −1. Уравнение искомой окружности имеет вид (x +1)2 +(y +1)2 = R2 . Учитывая, что эта окружность проходит через точку A(3; 2), подставим координаты точки А в полученное уравнение и найдем R2 : (3 +1)2 +(2 +1)2 = R2 , т.е. R2 = 25 .

Итак, искомое уравнение (x +1)2 +(y +1)2 = 25 , что соответствует третьему ответу.

Тестовое задание 3.53

Эксцентриситет гиперболы	x2		y2		0,8
Эксцентриситет гиперболы	64	−	36	=1	1,3
равен…	64		36		1,3
равен…					1,25
					0,75

Решение. В п. 3.1.4 дано определение эксцентриситета ε гиперболы:

ε= ac .

Уданной гиперболы (см. формулу (3.22)) a =8, b = 6 . Поэтому

c = a2 +b2 = 64 +36 =10	ε =	10		=1, 25 .
			8

Таким образом, третий ответ верный.

122

Тестовое задание 3.54

Если уравнение эллипса имеет вид						25
	x2		y2			25
	x2	+	y2	=1, то длина его большой по-		11
		+		=1, то длина его большой по-		11
11		25				5
луоси равна…						5
луоси равна…						11
						11
		Решение. Из данного канонического уравнения эллипса можно сделать
вывод, что квадраты полуосей равны 11					и 25, т.е. полуоси равны 11 и 5.
Большая полуось равна 5, так как 5 > 11 , поэтому верен третий ответ.
		Тестовое задание 3.55
Мнимая полуось гиперболы, заданной

					2
уравнением 4x2 −9 y2 =36, равна…
уравнением 4x2 −9 y2 =36, равна…

Решение. Если разделить обе части уравнения данной гиперболы на 36, то уравнение примет канонический вид:

x2	−	y2	=1,
9		4

поэтому, сравнивая с (3.22), видим, что мнимая полуось b = 2 . Ответ: 2.

Тестовое задание 3.56

… называется множество всех точек плоскости, для которых расстояние от данной точки, называемой фокусом, равно расстоянию до данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Эллипсом

Окружностью

Параболой Гиперболой

Решение. Вспомнив определения кривых второго порядка (п. 3.1.4), делаем вывод, что сформулированное в задании определение – это определение параболы.

Тестовое задание 3.57
Радиус окружности, заданной уравне-		4
Радиус окружности, заданной уравне-
нием	x2 + y2 + 4 y +3 = 0 , равен…
нием	x2 + y2 + 4 y +3 = 0 , равен…	3
		3
		1
		2

123

Решение. Чтобы найти радиус окружности, приведем данное уравнение к виду (3.18). Для этого выделим полный квадрат:

x2 +(y2 + 4 y + 4)− 4 +3 = 0 x2 +(y + 2)2 =1 R2 =1 R =1 .

Верен третий ответ.

3.2.5. Основные задачи аналитической геометрии в пространстве

В тестовых заданиях 3.58 – 3.78 рассматривается пространственная декартова система координат. При выполнении этих задач используются свойства координат точек, расположенных по разные стороны или по одну сторону от какой-либо координатной плоскости. Например, точки, лежащие по одну сторону от плоскости xOy , имеют аппликаты одного знака, а по раз-

ные стороны – аппликаты разных знаков. Точки, у которых одна из координат равна нулю, лежат в координатной плоскости, например, точка M (x;0; z)

лежит в плоскости xOz . Справедливы и обратные утверждения.

Тестовое задание 3.58

В пространстве имеется отрезок, со- единяющий две точки с абсциссами одинаковых знаков. Тогда этот отрезок не может пересекать …

плоскость Oxy

плоскость Oxz ось абсцисс плоскость Oyz

Решение. Так как у данных двух точек абсциссы одинаковых знаков, то эти точки лежат по одну сторону от плоскости Oyz , а значит, отрезок, соеди-

няющий эти точки, тоже лежит по одну сторону от плоскости Oyz – верен четвертый ответ.

Тестовое задание 3.59

В пространстве имеется отрезок, соединяющий две точки с аппликатами одинаковых знаков. Тогда этот отрезок не может пересекать …

плоскость Oxy

плоскость Oxz

ось ординат плоскость Oyz

Решение. Здесь верен первый ответ, так как данные точки лежат по одну сторону от плоскости Oxy .

124

Тестовое задание 3.60

В пространстве имеется отрезок, соединяющий две точки с ординатами одинаковых знаков. Тогда этот отрезок не может пересекать …

плоскость Oxy

плоскость Oxz

ось ординат плоскость Oyz

Решение. Рассуждая так же, как и в предыдущих заданиях, делаем вывод, что данные точки, а значит, и соединяющий их отрезок, лежат по одну сторону от плоскости Oxz , поэтому подходит второй ответ.

Тестовое задание 3.61

В пространстве имеется отрезок, соединяющий две точки с нулевыми аппликатами. Тогда этот отрезок целиком лежит…

в плоскости Oxy

в плоскости Oxz

на оси аппликат в плоскости Oyz

Решение. Так как у точек нулевые аппликаты, то эти точки лежат на плоскости Oxy . Отрезок, соединяющий две точки плоскости, целиком лежит в

этой плоскости. Поэтому отрезок, соединяющий данные точки, лежит в плоскости Oxy – верен первый ответ.

Тестовое задание 3.62

В пространстве имеется отрезок, со- единяющий две точки с нулевыми абсциссами и ординатами. Тогда этот отрезок целиком лежит…

в плоскости Oxy

на оси абсцисс на оси аппликат на оси ординат

Решение. Здесь даны точки с нулевыми абсциссами и ординатами, поэтому они лежат и в плоскости Oyz и в плоскости Oxz , т.е. на оси Oz . Поэтому

соединяющий их отрезок тоже лежит на оси Oz – правильный ответ третий.

Тестовое задание 3.63

В пространстве имеется отрезок, соединяющий две точки с нулевыми ординатами. Тогда этот отрезок целиком лежит…

в плоскости Oxy

в плоскости Oxz

на оси ординат в плоскости Oyz

125

Источник: https://studfile.net/preview/16563650/

Смотрите также:




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога