Материал: Решение тестовых заданий федерального интернет-экзамена по математике. Часть 1. Алгебра и геометрия. Колпачёв В.Н., Дементьева А.М
в одной плоскости, а во втором и третьем – не лежат.
Ответ: базис в пространстве составляют тройки векторов второго и третьего вариантов ответов.
Тестовое задание 1.13
Даны векторы a =(0, −1, −3) и b =(−2, 1, −3). Установите соответст-
вие между линейными комбинациями этих векторов и их координатами
1.2a −b
2.2a +b
3.a −2b
υ2 υ2 |
(4, −3, −9) |
υ232 |
(4, −3, 3) |
υ |
(2, −3, −3) |
υ212 |
|
υ |
(−2, −1, −9) |
υ222 |
|
υ |
|
υ2 υ2 |
(−4, 1, −9) |
Решение. Здесь два вектора a и b заданы своими координатами в некотором базисе трехмерного векторного пространства. Требуется найти координаты заданных трех линейных комбинаций этих векторов и указать каким из пяти данных вариантов ответов они соответствуют. Так как a =(0, −1, −3) и
b =(−2, 1, −3), то
1. |
2a − |
|
|
( |
|
( |
|
) |
|
( |
) |
|
( |
|
) |
|
) |
|
( |
|
) |
, что соответ- |
b |
= |
|
2 0 − |
|
−2 |
|
; 2 |
|
−1 |
−1; 2 |
|
−3 |
|
−3 |
|
= |
|
2 ; −3; −3 |
|
ствует третьему варианту ответов.
2. 2a +b =(2 0 +(−2); 2 (−1)+1; 2 (−3)+(−3))=(−2 ; −1; −9), что соот-
ветствует четвертому варианту ответов.
3. a −2b =(0 −2 (−2); −1−2 1; −3 −2 (−3))=(4 ; −3; 3), что соответст-
вует второму варианту ответов.
1.2.4. Линейные отображения
Тестовое задание 1.14
Линейное отображение задано в стан- |
|
|
21 |
|
||||||
|
||||||||||
дартном |
|
|
базисе |
|
матрицей |
|
||||
|
|
|
|
|
−26 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
−3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||
A = |
−6 |
. |
Тогда |
|
координатами |
|
|
18 |
|
|
|
|
|||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−28 |
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
||
образа вектора |
x = |
|
являются… |
|
|
−28 |
|
|||
|
||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21
Решение. В этом задании линейное отображение задано матрицей A раз-
мера 2 ×2 , |
т.е. в двумерном векторном пространстве с некоторым базисом. |
||||||||||||
Элементы |
такого |
пространства – |
векторы, |
задаваемые |
координатами: |
||||||||
x =(x1, x2 ) |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
при преобразовании A |
||
или x = |
1 |
. Чтобы найти образ вектора x |
|||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( y = Ax ), умножим матрицу A справа на координатный столбец вектора x : |
|||||||||||||
−3 4 |
|
−2 |
|
(−3) (−2)+ 4 3 |
|
6 +12 |
18 |
|
|||||
y = |
5 −6 |
|
3 |
|
= |
5 (−2)+( |
|
|
= |
|
= |
. |
|
|
|
|
|
−6) 3 |
−10 −18 |
−28 |
|
||||||
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
−28 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тестовое задание 1.15 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Линейным является отображение … |
|
|
f (x)= 2x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)= x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)=3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)=sin x |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Четыре отображения заданы элементарными функциями. Это значит, что отображается множество действительных чисел, являющееся линейным пространством над полем действительных чисел, в себя (R → R).
Предлагается выбрать из этих отображений линейное, т.е. функцию, удовлетворяющую условию
f (αx1 + βx2 )=α f (x1 )+ β f (x2 ) |
(1.4) |
для любых α, β, x1, x2 R .
Рассмотрим последовательно данные функции. Пусть f (x)= 2x , тогда
|
f (αx + βx |
2 |
)= 2αx1 +βx2 = 2αx1 2βx2 , |
|
|
|
|
||||||
а |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α f (x ) |
+ β f (x |
|
)=α2x1 |
+ β2x2 . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, 2αx1 |
2βx2 ≠α2x1 |
+ β2x2 |
|
|
(например, при |
x = x |
|
= 0 20 20 =1 ≠ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
≠α20 + β20 =α + β , если α + β ≠1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пусть f (x)= x2 , тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (αx + βx )=(αx + βx |
)2 =α2 x2 |
+ 2αβx x + β2 x |
2 |
, |
|||||||||
1 |
2 |
1 |
|
2 |
|
|
|
1 |
1 |
2 |
2 |
|
|
а |
α f (x )+ β f (x |
|
|
)=αx2 |
+ βx2 . |
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
||
22
Очевидно, α2 x2 + 2αβx x |
+ β2 x2 ≠αx2 |
+ βx2 |
при любых α, β, x , x R |
||||
1 |
1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
(например, при x1 = 0 , x2 =1, α = 2 , β =3 получим 0 +0 +9 ≠ 0 +3 ). |
|
||||||
Пусть f (x)=3x , тогда |
|
f (x1 )=3x1 , |
f (x2 )=3x2 и |
|
|||
f (αx1 + βx2 )=3(αx1 + βx2 )=α 3x1 + β 3x2 =α f (x1 )+ β f (x2 )
при любых α, β, x1 , x2 R . Значит, условие (1.4) выполнено, а, следовательно, отображение f (x)=3x – линейное.
Проверим последнюю функцию f (x)=sin x . Здесь, очевидно,
f (αx1 + βx2 )=sin (αx1 + βx2 )≠α f (x1 )+ β f (x2 )=α sin x1 + β sin x2
при любых α, β, x1 , x2 R , т.е. f (x)=sin x не является линейным отображением. Итак, ответ – f (x)=3x .
Замечание 1.2. В этом тестовом задании для выяснения линейности отображения достаточно проверить отдельно частные случаи f (αx)=α f (x) и
f (x1 + x2 )= f (x1 )+ f (x2 ) для любых α, x, x1, x2 R . Выполнение этих двух частных случаев в совокупности эквивалентно определению линейности отображения. Условие f (αx)=α f (x) означает, что при умножении аргумента x на
множитель α этот множитель выносится за знак функции. Для функций 2x , x2 , и sin x сразу видно, что 2αx ≠α 2x , (αx)2 ≠α x2 и sinαx ≠α sin x для любых
α, x R , т.е. эти отображения не являются линейными.
1.2.5. Алгебра многочленов
При выполнении всех тестовых заданий данной темы используется разложение многочлена с действительными коэффициентами на множители по формуле (1.3). В некоторых заданиях многочлены уже разложены на множители, а в некоторых придется делать алгебраические преобразования многочлена.
Тестовое задание 1.16
Число действительных корней много- |
|
1 |
члена P5 (x)=(x3 −1)(x2 −4x +5) с |
|
|
|
2 |
|
учетом их кратностей равно … |
|
5 |
|
|
3 |
23 |
|
|
Решение. Здесь многочлен пятой степени P5 (x) еще не разложен не множители по формуле (1.3). Воспользуемся формулой x3 − a3 =(x − a)(x2 + ax +b)
и |
разложим |
выражение |
x3 −1 = x3 − |
13 =(x −1) |
( |
x2 |
) |
. |
Тогда |
|||
|
+ x +1 |
|||||||||||
P5 (x)=(x −1)(x2 + x +1)(x2 −4x +5) |
– это и есть разложение вида (1.3), так как |
|||||||||||
квадратные трехчлены |
x2 + x +1 |
|
( D =12 −4 = −3 < 0 ) |
и |
|
x2 −4x +5 |
||||||
( D =16 −20 = −4 < 0 ) |
имеют комплексные |
корни. |
|
Из |
разложения |
|||||||
P5 (x)=(x −1)(x2 + x +1)(x2 −4x +5) |
видно, что у этого многочлена один дейст- |
|||||||||||
вительный корень ( x1 =1) и его кратность равна единице. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
Ответ: 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тестовое задание 1.17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Корнями уравнения x3 +16x |
над полем |
|
−4i |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
комплексных чисел являются … |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4i |
|
|
|
|
|
|
Решение. Здесь многочлен третьей степени x3 +16x рассматривается над полем комплексных чисел, т.е. у него три корня. Разложим его на множители
x3 +16x = x(x2 +16)=(x −0)(x2 +16).
Имеем: x1 = 0 , а x2,3 найдем, приравняв нулю квадратный трехчлен. По-
лучим x2 +16 = 0 , x2 = −16 , x = ± −16 = ±4i (напомним, что −1 = i ). |
||||
|
2,3 |
|
|
|
|
Ответ: 0, 4i , −4i . |
|
|
|
|
Тестовое задание 1.18 |
|
|
|
Дан многочлен |
|
υ2 υ2 |
1 |
|
|
||||
|
f (x)= 2(x −3)2 (x + 2)3 (x +3)4 . |
|
||
|
|
|
υ222 |
3 |
Установите соответствие между корня- |
|
υ |
|
|
|
υ |
4 |
||
ми многочлена и их кратностью. |
|
υ242 |
||
|
υ232 |
2 |
||
1. |
2 |
|
||
2. |
– 2 |
|
υ |
не является корнем |
|
υ212 |
|||
|
|
|
υ |
|
3. |
3 |
|
|
|
4. |
– 3 |
|
|
|
Решение. Дан многочлен, разложенный на множители по формуле (1.3). Нужно установить соответствие между предложенными вариантами корня и их
24
кратностью. Из разложения видно, что многочлен имеет три разных действительных корня: x1 =3 (кратность 2), x2 = −2 (кратность 3) и x3 = −3 (кратность
4). Следовательно, x = 2 не является корнем многочлена, что соответствует последнему варианту ответов; x2 = −2 – соответствует второму варианту ответов;
x1 =3 – соответствует четвертому варианту ответов, а x3 = −3 – соответствует третьему варианту ответов.
Тестовое задание 1.19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Число различных действительных кор- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
||||||
ней многочлена |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(x)=(x2 +5x +6)(x2 + 4x +3)(x + 2), |
|
|
|
|
|
|
|
||||
кратность которых больше 1, равно… |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. |
В |
разложении многочлена |
P(x) |
квадратный |
трехчлен |
||||||
x2 +5x +6 |
имеет |
корни |
x = −2 , |
x = −3 , |
поэтому |
||||||
x2 +5x +6 =(x − x )(x − x )=(x + 2)(x +3), |
1 |
|
2 |
|
|
||||||
а корнями |
квадратного |
трехчлена |
|||||||||
|
1 |
2 |
x2 = −1, следовательно, x2 + 4x +3 =(x +3)(x +1). |
||||||||
x2 + 4x +3 являются |
x1 = −3, |
||||||||||
Подставим разложения квадратных трехчленов в многочлен P(x): |
|
|
|||||||||
P(x)=(x + 2)(x +3)(x +3)(x +1)(x + 2) |
или P(x)=(x + 2)2 (x +3)2 (x +1). |
||||||||||
Это уже разложение вида (1.3), из которого видно, что многочлен P(x) |
|||||||||||
имеет три различных действительных корня: |
x1 = −2 |
(кратность 2), x2 = −3 |
|||||||||
(кратность 2) и x3 = −1 (кратность 1). Таким образом, два корня ( x1 и x2 ) имеют
кратность больше 1. Ответ: 2.
Тестовое задание 1.20
Если x1 – корень многочлена −4
P(x)=(x +1)3 (x −2)2 −3(x +1)2 (x −2)2 ,
имеющий наибольшую кратность, то значение P(x1 −1) равно …
Решение. Дан многочлен P(x), и через x1 обозначен его корень наибольшей кратности. Нужно вычислить P(x1 −1). Сначала найдем x1 , для чего разложим P(x) на множители в виде (1.3). Имеем
25