Материал: Решение тестовых заданий федерального интернет-экзамена по математике. Часть 1. Алгебра и геометрия. Колпачёв В.Н., Дементьева А.М

P(x)=(x +1)3 (x −2)2 −3(x +1)2 (x −2)2 =(x +1)2 (x −2)2 (x +1−3)=(x +1)2 (x −2)3 .

Значит, искомый корень наибольшей кратности x1 = 2 (кратность 3) (есть еще один корень x2 = −1, но его кратность равна 2). Теперь найдем

P(x1 −1)= P(2 −1)= P(1).

Пользуясь последним разложением P(x)=(x +1)2 (x −2)3 , определим

P(1)=(1+1)2 (1−2)3 = 4 (−1)= −4.

Ответ: −4 .

P(x)=(x +3)7 (x −5)3 −121(x +3)5 (x −5)3

равен …

Решение. Чтобы выбрать наибольший действительный корень, найдем все корни многочлена P(x), разложив его на множители в виде (1.3). Сделаем

некоторые преобразования, вынося общие множители за скобку:

P(x)=(x +3)7 (x −5)3 −121(x +3)5 (x −5)3 =(x +3)5 (x −5)3 ((x +3)2 −121)= =(x +3)5 (x −5)3 ((x +3)2 −(11)2 )=(x +3)5 (x −5)3 (x +3 −11)(x +3 +11)= =(x +3)5 (x −5)3 (x −8)(x +14).

Из полученного разложения видно, что P(x) имеет четыре различных действительных корня: x1 = −3 (кратность 5), x2 =5 (кратность 3), x3 = −14 (кратность 1) и x4 =8 (кратность 1). Наибольший корень – x4 =8 .

Ответ: 8.

26

Решение. В этом задании многочлен P(x) уже разложен на множители в виде (1.3). Из этого разложения видно, что корни P(x): x1 = −3, x2 = 0,4 и x3 = −2,4 (все корни имеют кратность 1). Осталось проверить, какому из предложенных множеств принадлежат все корни. В первом варианте ответов все

в виде (1.3), так как в его разложении есть квадратные трехчлены, у которых также могут быть действительные корни. У квадратного трехчлена x2 +9 корни

x3 =− 7 , поэтому нам подходит первый из вариантов предложенных ответов.

Ответ: 6; 7 ; − 7 .

27

Решение. Чтобы решить это задание, снова разложим многочлен P(x) в виде (1.3), а для этого найдем действительные (вещественные) корни квадратных трехчленов x2 + x −7 и x2 − x −3 , если они есть. У квадратного трехчлена x2 + x −7 дискриминант D =1 + 28 = 29 > 0. Значит, он имеет два разных дейст-

Решение. В этом задании многочлен P(x) уже разложен на множители в

виде (1.3):

P(x)=(x −1)3 (x2 +1)2 (x −0)4 ,

так как квадратный трехчлен x2 +1 действительных корней не имеет. Из этого разложения видно, что корень x1 =1 имеет кратность 3 (скобка (x −1) возведена

в третью степень). Ответ: 3.

28

2.ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

2.1.Краткие теоретические сведения

2.1.1.Определители. Вычисление определителей

Определение 2.1. Квадратная таблица чисел называется квадратной матрицей.

Матрицы обозначаются буквами A, B,… Элементы матрицы обозначают

соответствующей строчной буквой с двумя индексами: элементы матрицы A , имеющей n строк и n столбцов, обозначим aij (i =1,…, n ; j =1,…, n , где i – но-

Каждая квадратная матрица характеризуется числом, называемым определителем (детерминантом) матрицы. Определитель матрицы A обозначается A , или det A , или и записывается в виде

Определитель третьего порядка вычисляется по формуле

a11 a12 a13

a21 a22 a23 = a11a22a33 + a12a31a23 + a13a21a32 −a13a22a31 −a11a23a32 −a33a12a21 . (2.4) a31 a32 a33

29

Для запоминания формулы (2.4) можно дополнить определитель матрицы A справа еще двумя столбцами: первым и вторым:

Теперь слагаемые в формуле (2.4) определяются так: три произведения по три элемента, стоящих на отрезках, обозначенных сплошной линией, – это первые три слагаемых в формуле (2.4); три произведения по три элемента, стоящих на отрезках, обозначенных пунктиром, берутся с противоположным знаком и образуют остальные слагаемые в формуле (2.4). Отметим, что каждое слагаемое содержит три элемента определителя, расположенные в разных строках и столбцах определителя.

Определение 2.2. Дополнительным минором Mij к элементу aij опреде-

лителя (2.4) называют определитель второго порядка матрицы, полученный из матрицы A вычеркиванием i - й строки и j - го столбца.

Определение 2.3. Алгебраическим дополнением к элементу aij матрицы

Определение 2.4. Определитель n - го порядка равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Такое представление называется разложением определителя по строке (столбцу). Например, определитель третьего порядка, разложенный по элементам первой строки, будет равен

30