Материал: Сандракова Дифферентсиалные формы на гладкикх многообразиякх 2014

Определение 5.7. Группа πn ( X ) называется n-мерной гомото-

пической или n-й гомотопической группой.

Покажем, что на множестве πn ( X ) можно ввести групповую структуру.

Пусть заданы отображения ϕ, ψ: S n → X . Требуется опреде-

Рассечем сферу экваториальной плоскостью x0 = 0 . Будем считать, что отмеченная точка лежит в экваториальной плоскости. Отображение ψϕ: S n → X устроено следующим образом.

S n−1 они отображают в отмеченную точку.

Следствие 5.1. Множество всех отображений

(S n ; a0 ) → ( X ; x0 )

для любого топологического пространства X совпадает с множеством всех отображений Bn → X , переводящих всю граничную сферу S n−1 = ∂Bn в точку x0 .

Теорема 5.1. При n >1 группа πn ( X ) коммутативна.

111

Доказательство.

1. Пусть n = 2 . Отображения ϕ: S 2 → X ,

ψ : S 2 → X являются представителями двух классов эквивалентности элементов группы π2 ( X ) . Отображение ψϕ: S 2 → X можно

представить как отображение B2 → X , где

диск B2 состоит из двух полудисков и на одном из полудисков задано отображение ϕ, а на другом отображение ψ. Граница каждого полудиска отображается в отмеченную точку x0

Рис. 9 (рис. 9, а). Будем вращать разделяющий полудиски диаметр (рис. 9, б).

Для любого угла α обозначим через Lα отображение B2 → B2 ,

заданное поворотом на угол α вокруг центра диска. Затем для любого α [0; π] обозначим через ψϕα отображение, совпадающее с

ϕ L−α с одной стороны от повернутого диаметра, и ψ L−α – с

другой. После поворота на угол π отображения ϕ и ψ поменяются местами, т.е.

ψϕα = ϕψα .

Таким образом, получаем однопараметрическое семейство отображений, связывающих ψϕ с ϕψ .

2. При n > 2 доказательство точно такое же.

Получаем набор топологических инвариантов πn ( X ) : у гомео-

морфных пространств гомотопические группы изоморфны. Все множества Π( A, X ) образуют более широкий набор топологических

инвариантов. Но если Π( A, X ) – просто множество, без какой-либо

алгебраической структуры, то это очень слабый инвариант. Существуют негомеоморфные топологические пространства,

которые не различаются инвариантами Π( X ; A) и Π( A, X ) . Во

многих случаях полезнее другое отношение эквивалентности: не гомеоморфности, а гомотопической эквивалентности.

Определение 5.8. Топологические пространства X и X ′ называются гомотопически эквивалентными, если существуют такие не-

112

прерывные отображения f : X → X ′ и g : X ′ → X , что их композиции gf и fg гомотопны тождественным отображениям. Отобра-

жения f и g при этомназываются гомотопической эквивалентностью. Гомеоморфные пространства гомотопически эквивалентны. Об-

ратное, вообще говоря, неверно.

Пример 5.2. Цилиндр I ×S1 и окружность S1 гомотопически эквивалентны (рис. 10). Отображение f : S1 → I ×S1 задается как гомеоморфизм f : S1 →{0}×S1 I ×S1 , а отображение g : I × S1 → S1 задается как проекция цилиндра на нижнее основание {0}×S1 и гомеоморфизма f −1 .

Рис. 10

Утверждение 5.1. Если топологические пространства X и X ′ гомотопически эквивалентны, то их гомотопические группы изоморфны, а множества Π( A; X ) и Π( A; X ′) находятся в естествен-

ном взаимно однозначном соответствии, равно как и множества

Π( X ; A) и Π( X ′; A) .

(Доказать самостоятельно.)

Зависимость от отмеченной точки. При определении гомотопических групп выделялась отмеченная точка. Что будет, если выберем другую отмеченную точку? При этом пространство X считается линейно связным. Для несвязного пространства нужно отдельно рассматривать его компоненты линейной связности. Существует способ отождествлять π1 ( X ; x0 ) с π1 ( X ; x0′) , но это отождествление неод-

нозначно. Под отождествлением понимается построение изоморфизма. Изоморфизм между группами строится так: возьмем путь, соединяющий точку x0 с точкой x0′ . Петле с начальной точкой x0′

113

поставим в соответствие петлю с начальной точкой x0 , которая устроена так: первая ее треть – путь l от x0 до x0′ , вторая треть – петля в x0′ , последняятреть – обратный путь l−1 из x0′ в x0 .

§23. Примеры гомотопически эквивалентных пространств

1.Для любого топологического пространства X

X и I × X

гомотопически эквивалентны.

2.Лист Мебиуса гомотопически эквивалентен S1 .

3.Топологическое пространство GL(Rn ) ≡ GL(n, R) (множество матриц размером n×n с ненулевым определителем) гомотопиче-

ски эквивалентно топологическому пространству O(Rn ) ≡ O(R, n)

(множество ортогональных матриц порядка n).

4. Топологическое пространство SL(n, R) матриц с определите-

лем, равным 1, гомотопически эквивалентно SO(Rn ) ≡ SO(n, R) (ортогональные матрицы с определителем, равным 1).

114