Материал: Сандракова Дифферентсиалные формы на гладкикх многообразиякх 2014
Используя свойство определителя k-го порядка и косую симмет-
рию формы ωk , получаем представление кососимметрической формы в более простом виде
|
|
|
xi1 |
... |
xik |
|
ωk (x1, ..., xk ) = |
∑ |
ai1...ik |
1 |
|
1 |
|
... ... ... |
. |
|||||
|
1≤i1<i2 <...<ik ≤n |
|
xi1 |
... |
xik |
|
|
|
|
k |
|
k |
|
Суммирование происходит не по всем индексам, а только по тем, которые указаны под знаком суммы.
Замечание 1.3. Множество Ω ={Ωk }k = dim X |
кососимметриче- |
k =0 |
|
ских форм на линейном пространстве X над полем R относительно линейных операций сложения форм и умножения формы на число из R и внешнего произведения является градуированной алгеброй:
dim X
Ω = Ωk ,
k =0
при этом линейные операции на Ω выполняются в пределах каждо-
го |
линейного |
пространства |
Ωk и |
если |
ωk Ωk , ωl Ωl , то |
|||||||
ωk |
ωl Ωk +l . В прямой сумме Ωk |
суммирование ведется от 0 |
||||||||||
до n = dim X , поскольку кососимметрические формы ωk : |
X k |
→ R , |
||||||||||
степень которых выше размерности пространства X, обязательно |
||||||||||||
тождественно равны нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Покажем это. Возьмем ωk |
при k > n = dim X . Так как ωk |
– ко- |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
сосимметрическая, то по теореме 3 (x , ..., x ) X k |
= X ×...× X |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
k |
|
|
|
|
|
ωk (x1, ..., xk ) = |
∑ |
ai1...ik ei1 ... eik (x1, ..., xk ) . |
|
|
|||||||
А так как |
1≤i1 <...<ik ≤n |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
ei1 (x ) ... |
eik (x ) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ei1 ... eik (x , ..., x ) = |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
||||
|
... |
... |
... |
= 0 |
|
|
||||||
|
|
1 |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ei1 (x ) ... |
eik (x ) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
k |
|
|
|
для |
любого |
строго |
возрастающего |
набора |
индексов |
|||||||
1 ≤ i1 < i2 <... < ik ≤ n , где k > n , то хотя бы два индекса обязательно
21
совпадут и в определителе два соответствующих им столбца окажутся равными.
§4. Линейные отображения линейных пространств
исопряженные отображения сопряженных пространств
Пусть X и Y – линейные пространства над полем R (или над любым иным, но одним и тем же для X и Y полем) и пусть l: X →Y – линейное отображение X в Y, т.е. x1, xk X
|
|
λ R l(x1 + x2 ) = l(x1 ) +l(x2 ) и l(λx) = λl(x) . |
||||||||||
Рассмотрим |
линейные |
пространства |
F |
k |
|
и |
F k , а затем |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
Y |
F |
X |
={F k }+∞ , F ={F k }+∞ – множества всех полилинейных форм |
||||||||||
|
X |
0 |
Y |
Y |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
на X и Y соответственно. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Отображение l : |
X →Y порождает, |
естественным образом, со- |
|||||||||
пряженное с ним отображение l* : |
F →F |
X |
, определенное сле- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
дующим образом: F k |
– k-формы на Y |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(l*FYk )(x1, ..., xk ) = FYk (lx1, ..., lxk ) . |
|
|||||||
Из определения l* |
видно, что F k |
F k |
l*F k |
есть k-форма Fk |
||||||||
|
|
|
|
|
|
Y |
Y |
|
|
|
Y |
X |
на X, т.е. l* (FY ) FX .
Утверждение 1.3. Пусть l : X →Y – линейное отображение линейного пространства X над полем R в линейное пространство Y над
полем R и пусть l* : FY →FX – сопряженное ему отображение.
ΩYk , ΩkX – множества всех кососимметрических k-форм на Y и X
соответственно. Тогда l* (ΩYk ) ΩkX .
Доказательство. Пусть FYk
ская k-форма на Y, т.е.
( y1, ..., yi , ..., y j , ..., yk ) Y k FYk ( y1, ..., yi , ..., y j , ..., yk )
– произвольная кососимметриче-
i, j , i ≠ j , 1 ≤ i ≤ k , 1 ≤ j ≤ k
= −FYk ( y1, ..., y j , ..., yi , ..., yk ) .
22
Возьмем произвольный набор |
|
(x , ..., x , ..., x |
j |
, ..., x ) X k , |
x X , |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
i |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
s |
|
1 ≤ s ≤ k . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(l*F k )(x , ..., x , ..., x |
j |
, ..., x |
) = F k (lx , ..., lx , ..., lx |
j |
, ..., lx |
) = |
|||||||||||||||||
|
Y |
1 |
|
i |
|
|
|
k |
|
Y |
|
1 |
|
|
i |
|
|
|
|
|
k |
|
||
|
= −F k |
(lx , ..., lx |
j |
, ..., lx , ..., lx |
|
) = −(l*F )(x , ..., x |
j |
, ..., x , ..., x ) , |
||||||||||||||||
|
Y |
1 |
|
|
|
i |
|
k |
|
|
Y |
1 |
|
|
|
|
|
|
i |
|
k |
|||
что и доказывает утверждение 1.3. |
в пределах F k |
|
|
|
||||||||||||||||||||
Утверждение 1.4. Отображение l* |
линейно. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
Доказательство. Докажем, что F k |
, F k |
F k |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1Y |
2Y |
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l* (F1*Y + F2*Y )= l*F1Yk + l*F2kY . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Для доказательства возьмем произвольный набор |
(x , ..., x ) X k . |
|||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
k |
|
l* (F1Yk |
+ F2kY )(x1, ..., xk ) = (F1Yk |
+ F2kY )(lx1, ..., lxk ) = |
|
|||||||||||||||||||||
|
= F k (lx , ..., lx |
) + F k |
(lx , ..., lx |
k |
) = l*F k (x , ..., x |
k |
) + |
|
||||||||||||||||
|
|
1Y |
1 |
|
k |
|
|
2Y |
|
|
1 |
|
|
1Y 1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
+ l*F2kY (x1, ..., xk ) = (l*F1Yk +l*F2kY )(x1, ..., xk ) . |
|
|
||||||||||||||||||||
Мы воспользовались линейностью пространств |
F |
k |
|
и затем F k . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
Y |
|
Аналогично |
доказывается |
|
второе |
свойство |
|
линейности |
||||||||||||||||||
F k F k λ R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Y |
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l* (λFYk ) = λl*FYk .
Утверждение 1.5. Пусть l* : F →F |
X |
. |
F p F p |
Y |
|
Y Y |
|
F q F q |
|
|
|
Y Y |
|
|
|
l* (FYp FYq )= l*FYp l*FYq . |
|
|
|
Доказательство. Для доказательства возьмем произвольный набор элементов из X, т.е. (x1, ..., xp , xp+1, ..., xp+q ) X p+q , и рассмотрим
l* (FYp FYq )(x1, ..., xp , xp+1, ..., xp+q ) = |
|
= (FYp FYq )(lx1, ..., lxp , lxp+1, ..., lxp+q ) . |
(4.1) |
23
Формула (4.1) по определению тензорного произведения в FY имеет вид
FYp (lx1, ..., lxp )FYq (lxp+1, ..., lxp+q ) ,
по определению отображения l* :
(l*FYp )(x1... xp )(l*FYq )(xp+1, ..., xp+q ) ,
по определению тензорного произведения в FX :
(l*FYp l*FYq )(x1, ..., xp , xp+1, ..., xp+q ) ,
т.е.
l* (FYp FYq )= l*FYp l*FYq .
Утверждение 1.6. Пусть l* : FY p →FX p , p = 0,1, 2, …, A – аль-
тернирование. Тогда FYp FY p l* (AFYp )= A(l*FYp ).
Доказательство. Возьмем произвольный набор (x1, ..., xp ) X p , и FYp FY p получаем
l* (AFYp )(x1, ..., xp ) = AFYp (lx1, ..., lxp ) =
= p1! FYp (lxi1 , ..., lxip )δ1i1......pip = p1!(l*FYp )(xi1 , ..., xip )δ1i1......pip =
= A(l*FYp )(x1, ..., xp ) .
Откуда следует, что l* (AFYp )= A(l*FYp ).
Утверждение 1.7. Пусть l* : FY →FX , тогда p, q , p = 1, 2, …; q = 1, 2, …
l* (ωp ωq ) = (l*ωp ) (l*ωq ) .
Доказательство. Фиксируем произвольные p и q и рассмотрим
произвольные |
кососимметрические p-форму ωp Ωp F |
и q- |
||||
|
|
|
|
Y Y |
|
|
форму ωq Ωq |
F . Тогда x X , i = 1, 2, …, p + q |
|
||||
Y |
Y |
|
i |
|
|
|
l* (ωp ωq )(x , ..., x |
p+q |
) = (ωp ωq )(lx , ..., lx |
p+q |
) , |
(4.2) |
|
|
1 |
1 |
|
|
||
24
формула (4.2) по определению внешнего произведения в FY будет иметь вид
( p + q)! ( A(ωp ωq ))(lx1, ..., lxp+q ) , p! q!
по определению l* : FY →FX :
( p + q)! l* ( A(ωp ωq ))(x1, ..., xp+q ) , p! q!
согласно утверждению 1.6:
( p + q)! A(l* (ωp ωq ))(x1, ..., xp+q ) , p! q!
согласно утверждению 1.5:
( p + q)! A(l*ωp l*ωq )(x1, ..., xp+q ) , p! q!
по определению внешнего произведения в FX : (l*ωp l*ωq )(x1, ..., xp+q ) .
Откуда в силу произвольного выбора набора (x1, ..., xp+q ) X p+q и следует, что l* (ωp ωq ) = (l*ωp ) (l*ωq ) .
Подведем итог: сопряженное отображение l* : FY →FX линейному отображению l : X →Y обладает следующими свойствами.
1. l* линейно, т.е. F1kY , F2kY FY
l* (F1kY + F2kY )= l*F1kY + l*F2kY
и FYk FY и λ R
l* (λFYk )= λ(l*FYk ).
2. l* (ΩYk ) ΩkX кососимметрические формы на Y отображает в
кососимметрические формы на X. 3. l* (F p F q ) = (l*F p ) (l*F q ) .
25