Курсовая работа (т): Статистичне вивчення виробництва льоноволокна

= =

Сукупність неоднорідна,варіація велика, тому що 21%≤ V ≤50%.

2.3 Криві розподілу та спосіб перевірки гіпотез про відповідність емпіричного розподілу нормальному

Закономірність розподілу одиниць сукупності за значеннями варіючої ознаки можна описати певною функцією, яка має назву теоретичної кривої розподілу. Найбільш часто використовується нормальна крива розподілу, а сам розподіл, котрий можна описати цією кривою, має назву нормального розподілу. Він має наступні властивості:

А=0; Е=0

,3% одиниць знаходяться в межах  ± σ;

,5% - в межах  ± 2σ;

99,7% - в межах  ± 3σ.

Дані вибіркових спостережень часто становлять основу для прийняття одного з кількох альтернативних рішень (продукція може бути бракованою або якісною, точність обробки виробу в межах норми або нижча від норми і т. д.). Із загальнометодологічного погляду тут йдеться про висунення деякої гіпотези, яку відхиляють або приймають після проведення деякого експерименту. Якщо цей експеримент має статистичний (стохастичний) характер, кажуть, що гіпотеза є статистичною.

Статистична гіпотеза - це припущення відносно параметрів або форми розподілу генеральної сукупності, яке підлягає перевірці і на підставі вибіркового методу може бути прийнятим або відхиленим. У процесі перевірки статистичної гіпотези потрібно визначити, чи узгоджуються дані спостереження з висунутим припущенням. Розрізняють гіпотези основні (нульові або робочі) і альтернативні (конкуруючі). Основною називають гіпотезу яка підлягає перевірці. Її позначають через Н₀. Альтернативною Н_А називають гіпотезу, яка протиставляється нульовій гіпотезі і заперечує її. Кожній нульовій гіпотезі можна протиставити нескінченну множину альтернативних.

Є такі види гіпотез:

1) нульова гіпотеза (Н₀) - це гіпотеза, яка підлягає перевірці;

2)      альтернативна (Н_А) - це гіпотеза, протилежна до нульової.

Критерій - це показник, на підставі якого здійснюється перевірка гіпотез.

Галузь допустимих значень - це значення критерію, при яких приймається Н_0.

Критична галузь - це ті значення критерію, при яких відхиляється Н_0.

Критична точка - це точка, яка розмежовує галузь допустимих значень з критичною галуззю.

Всі статистичні гіпотези поділяються на 2 групи:

1)      гіпотези відносно рядів розподілу ;

)        гіпотези відносно параметрів розподілу (t-критерій, F-критерій);

Послідовність перевірки статистичних гіпотез

1) Формулювання Н₀.

2)      Вибір рівня ймовірності (рівня значущості).

Наприклад, р=0,95,

3) Вибір критерію, за яким здійснюється перевірка статистичної гіпотези.

4)      Розрахунок фактичного значення критерію.

)        Визначення числа ступенів вільності.

)        Визначення критичної точки (табличного значення критерію).

)        Порівняння фактичного значення критерію з табличним значенням та на підставі цього прийняття або відхилення Н₀.

При перевірці статистичних гіпотез відносно рядів розподілу розглядаються задачі про узгодження фактичного ряду розподілу щодо нормального або про узгодження 2-х фактичних рядів розподілу.

Нормальним є розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини, яка має щільність

,

де середня та середнє квадратичне відхилення визначають центр угрупування та форму кривої на графіку.

Якщо , а , крива називається нормальною кривою.

У результаті статистичної перевірки гіпотези може бути прийняте одне з двох правильних рішень: 1) гіпотеза приймається і вона істинна; 2) гіпотеза відхиляється і вона неістинна.

Поряд із тим у результаті статистичної перевірки статистичної гіпотези можуть бути допущені помилки (прийняті неправильні рішення) двох типів:

) гіпотеза відхиляється, але вона істинна (помилка першого роду);

) гіпотеза приймається, але вона неістинна (помилка другого роду).

Виявляється, що помилка першого роду має вагоміші наслідки, ніж помилка другого роду.

Щоб застрахувати себе від помилки першого роду або принаймні звести до мінімуму ризик її допущення, вводиться спеціальне число  яке виражає ймовірність відхилення правильної гіпотези.

Імовірність допущення помилки першого роду називають рівнем значущості і позначають через

Число  задають наперед і найчастіше його вибирають рівним 0,1; 0,05; 0,01. Якщо  то це означає, що ймовірність допустити помилку першого роду є мала, а саме - ми ризикуємо її допустити у 5-ти випадках зі 100.

Для перевірки статистичних гіпотез про відповідність двох порівнюваних рядів розподілу частот нормальному закону використовуємо c²-критерій. Цей показник був введений у статистику К. Пірсоном. За допомогою критерію c² оцінюють відповідність між фактичним і теоретичним розподілом частот, незалежність розподілу одиниць сукупності за градаціями досліджуваної ознаки, однорідність розподілу.

При використанні c² слід враховувати такі вимоги. Перевіряючи гіпотезу про відповідність емпіричного розподілу нормальному, потрібно мати не менш як 50 спостережень. Не рекомендується використовувати c², якщо теоретична чисельність одиниць у групі менша п’яти.

Якщо фактичне значення обчисленого за даними вибірки критерію c² дорівнює табличному, або менше за нього (при відповідній кількості ступенів свободи і рівні ймовірності), то це означає, що розбіжності між фактичними і нормальними частотами випадкові, а якщо фактичне значення більше табличного - розбіжності між емпіричними і нормальними частотами зумовлені не випадковими, а істотними причинами.

Величину c² обчислюють за формулою:

фактичні (емпіричні) частоти розподілу;ʹ - теоретичні частоти розподілу.

На практиці крім критерія часто використовується критерій Колмогорова, цей критерій застосовується для перевірки простої гіпотези  про те, що незалежні однаково розподілені випадкові величини  мають задану неперервну функцію розподілу F (x). Він визначається за формулою:

де D - абсолютна максимальна різниця кумулятивних часток;

п - число спостережень (чисельність одиниць сукупності).

Якщо розподіл задано в частотах, тоді формула матиме вигляд:

В.І. Романовський запропонував критерій узгодження:

Розходження між теоретичною та емпіричною кривою розподілення вважаються суттєвими або несуттєвими, а розподіл приблизно нормальним або ні, в залежності від того, буде чи не буде число R_r за абсолютною величиною більше або менше 3.

Критерій узгодження Б.С. Ястремського (L) використовується для прямої відповіді на питання про міру розбіжності між фактичним і теоретичним розподілом:

 - при кількості груп менше 20 (п<20), дорівнює 0,6.

Розрахункова частина:

Перевірити відповідність емпіричного розподілу (3шт) щодо нормального за використанням c²-критерію Пірсена.

Перевіряємо відповідність емпіричного ряду розподілу щодо нормального за результативною ознакою:

(нульова гіпотеза) - емпіричний ряд розподілу несуттєво відрізняється від нормального.

c² =6,29

Р=0,95

υ = n - 3=5 - 3=2

c² =0,95(2)=6

Так як,фактичне значення c²-критерію Пірсена перевищує критичну точку при Р(0,95), то  - відхиляється, але емпіричний ряд розподілу суттєво відрізняється від нормального.

Перевіряємо відповідність емпіричного ряду розподілу щодо нормального за першою факторною ознакою:

(нульова гіпотеза) - емпіричний ряд розподілу несуттєво відрізняється від нормального.

c² =8,93

υ = n - 3=5 - 3=2

c² =0,95(2)=6

Так як,фактичне значення c²-критерію Пірсена перевищує критичну точку при Р(0,95), то  - відхиляється, тобто емпіричний ряд розподілу суттєво відрізняється від нормального.

Перевіряємо відповідність емпіричного ряду розподілу щодо нормального за другою факторною ознакою:

(нульова гіпотеза) - емпіричний ряд розподілу несуттєво відрізняється від нормального.

c² =0,94

υ = n - 3=5 - 3=2

c² =0,95(2)=6

Так як,фактичне значення c²-критерію Пірсена не перевищує критичну точку при Р(0,95), то  - приймається, тобто емпіричний ряд розподілу не суттєво відрізняється від нормального.