= а ( Ж1л |
г |
г |
, |
. |
|
^ . + ( п + 2)й ^ : + й г = |
|
|
|
||
= « |
. + (" + я) ^ ? * Ч .+ ^ - |
|
|
||
'=о/(Т+а)о + > ^ |
- « < |
- п - ^ |
= |
|
|
= »гг+«1-я ^ + т ? 5 Г 1 Г - |
(м) |
Коэффициенты ^1я,» ^(Г*л- 2)» Раииь| иу«ю» так как но включениях напряжения не могут принимать бесконечные значения.
Решение системы уран-нслиН ( И) проще леего выполнить, рассма тривая каждую четверку как самостоятельную группу с излестноИ правой частью. Этого можно добиться решая задачу итерационно, Воскову положена идея последовательногонахождения возмущений от каждого из включений о предположении, что другие возмущении нам известны. Их конкретные значения берутся с ранее пополнен ного шага.
5.4. Итерационным метод реш ения
Вычисления осуществляются но следующему алгоритму. На. ка ждом шага итерации точно удовлетпорнются граничные условия па поверхноети одного включения с незначительным изменением халряжелно-деформнроманою состоянии у поверхности остальных. Эта операция повторяется последовательно для всех включений до хол>'1ет 1к с нужной точностью искомого решения. Свешенне решехиа бесконечной системы линейных уравнений к решению на ка-
ждом. шаге систем 4-го порядка значительно экономит нам оыиишт скорость счета.
Для каждой из рассматриваемых систем (14) нам требуется опре делить четыре неизвестных: Л™0, >!(,',%),, • Рассмо трим, как отчисляются эти коэффициенты.
В ряде Лорана (11) для возмущений от включений естественно
считать равными нулю коэффициенты Л(,1+2)3, ^лГ ' Г|ОСКОЛ,»*У в03* мущекия должны исчезать при удалении от включении.
Запишем возмущения Г-го включения п системе координат, соизаикой с центром го-го включения. Переход дли функции <р™> осуществляется с помощью связей
*Г‘ = Е ( - |
1 ) Ч о/ - |
|
(15) |
Выражение (15) следует из разложения связи |
|
||
*1 |
к — |
~ (аЛ” ат )^ |
(^ ) |
о ряд Тейлора по степеням гт В итоге после проведения иссх пре образований н системе уравнении (14) коэффициенты /1Л'0, Я,™ для т-го включения выражаются через однородное поле н возмущения всех других включений следующим образом:
А ш11ц - V х V 1'Г ' * 11 ~ Ц- н г ^ - ^ у +
'*!(— п1
+-4|в^1 + Л1вл>ч^ ►
I*» П
“ (<Ч - |
+ ")(«Г “ ОжГ1) Ф #10*1 + |
. |
- |
|
Г |
1, |
если |
л |
= |
I, |
1 |
- 3 |
~ |
\ |
0, |
если |
и |
ф |
1 |
Итераидокпий алгоритм строим по следующей схеме.
1. Полагаем псе возмущения от включении равными куш
л1.„ = о, л1„ = о .
2. Находим ношу щенки от цериото оключсипл, решая систему (II) при положительных коэффициентах, определенных по форму лам (17).
3. Находим доз-мушепни от второго включении и «|юрмулах (17), используя наДденные коэффициенты Л!_п, Я1Пдля лоз.мущенин 1-го включении.
1 Находим возмущения от Зчх> включения к т. д, 5. После черного обхода исох включении совершаем птороН об-
ход, третий и т. д. Процесс продолжается до момента, когда копыИ обхцдпо телюлениям практически кс будет приводки» к изменению нечитанных коэффициентов.
0. Заключительным шагом процедуры является п|нм)срка точ ности решеими непосредственным вычислением граничных условий. Немэка их удовлетворения характеризует точность лаНдеиного рсиевня.
Ключевым моментом в итерационном процессе является переход мкшущеапН в систему координат, сиязаиную с т-м включением. В общих чертах этот переход описан выше. Конкретные детали пре образовании рассмотрим на примере решенкя задачи с двумя вклю чениями.
Через функцию у>(т) и ^(г) перемещения в матрице выражаются »следующем виде:
4 = ] |
*=1 |
' |
1=1 1=1
где й — перемещения и матрице,
24 = г —«1, |
*а = * - «г- |
Равенство (14) нужно записать и координатах гх и л и х7 в со ответствии с тем, какое из включении рассматриваете}!. Так как □а + га = 01 + , то га = г\ —(пг —О]) . Перепишем (14) » коорди натах 1 1 :
2/ш = |
+ ё |
Л-*о(*» - («а - «[)) |
+ |
||
4=1 |
1=1 |
|
|
|
|
+^1о(г1 “ Я0 ) “ |
^ |
Л-**2» *)Л1 "* |
|||
|
-*1 ( X ) Л-*о (2* “ (П* - Д‘>) |
) „ + |
|||
+ С а 1 -а |)(Х )И 1 ь |
( * 1 - ( в а - в 1)) *) - |
|
|||
|
1=1 |
|
|
|
|
4*1 |
- а 0 ( Ло) ~ ( |
^ |
В‘ »в2Г4) ~ |
|
|
|
|
|
1 = 1 |
|
|
- ( Е в-».(г' - ( “1_в,>)* ) |
- * и п + ^ ) |
(«о |
|||
1=1 |
|
|
|
|
|
Разложил функцию / = Л * . (*• " (“» - «»))'* » РЯЛ Тс,,л°Ра
степеням 2 1 , получим
/ = Е ё * П0^ я- 1< -1) > - < ,,г ‘ - " * |
(2В) |
|
» = 0 я = 1
Обоэн
А1, = ^ - п о ^ + п - ^ - О ^ ^ з - а О ^ 6-”,
11 = 1
тогда ( 20 ) преобразуется к виду
/ = х > и
*=о
Запишем функции Ро(*1), ^о(*1) ’Иф03 г1‘
= Ё Е |
!)•(-* - «.)-*-*!' |
|
4=ам=I |
|
|
й(*1) = $ З ё |
г1 ^ +„ -1(-1)п(«г-<11)-‘' ,,^ |
п, - |
Л=0»>=1 |
4 |
|
-(в, - а»)/!—„„(* + п)(а2 - а ,) - 1) |
(21) |
|
Формулы (21) иллюстрируют переход от включения к включению.
5.5. Определение тензора напряж ений, средних напряжений, интенсивности напряжений и дс форм аил й
ГГосле того как найдены коэффициенты ЛЦ.|ДЭЕ на основании формул (11), (12), становятся известны функции >1 ФГ р=0,1), через которые определяются напряжения <291(г91(2ху и перемещения
М - Для любого г = г«'* в матрице имеем