~ Л 'Г з1п (к - 1)9т ) |
- |
К(* - |
1)г{г' ( л ? |
соя (1- - |
ЭД„ - |
|||||
|
- Л Г йп(* - |
3)0т ) - |
*г*-'(в',"' соз(* - |
1 )0 т - |
||||||
|
|
-В*"” 31П (к - |
1)0,,,)^, |
|
||||||
< Г у = ^ + Ё |
Е |
( 2кг1 -1( л р е » ( к - й ) в я - |
|
|||||||
|
т - 1 |
Ь = - о о |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
-А Х " вт (к - |
1)1?т ) + *<* - |
|
х |
|
|||||
|
х ( - ЛГ |
б)п{к - |
Л)0т + |
Л Т соз(* - |
3)01М.) + |
|||||
|
Н |
Ь |
^ |
- В |
^ |
я . . ^ |
- !)<),„ + |
|
||
|
|
+ В |Г е о з(* - |
1)0,,,)). |
|
||||||
°.ш = ° % + Е |
Е |
( щ - - 0 г ‘г 1( л “ ^ ( * - з ) в , . . + |
||||||||
|
т - |
1 к = —о о |
' |
|
|
|
|
|
||
+ Л Г соз (к- 3)0т) + ь ^ г 1 (в?" ЯП (* - №„ + |
||||||||||
|
+В^т соз(Л - 1)0, |
|
|
|
|
|||||
и = |
1/<гЛ?соз0+ \ ? Е |
|
Ё |
( « ^ ( Л Г с о з ^ т - |
||||||
|
2 |
|
1 т = 1 » = - о о ' 4 |
|
|
|||||
- |
А '^т 51ИкОт) - |
Лт*п(у!*7*соз(—Д: + 2 |
) 0 т + |
|
||||||
+ / С Ч т ( - * + ЭД„) - г - к( л ^ « и (-Х)От +
+ В р «■(-*)*»)),
1 |
, |
* -1 |
/ |
|
» = -/1гЛ ?яп/»+ 5/ 1 ^ |
( 'я и(ЛГ® п**« + |
|||
|
|
ГЛ=] 1 = - с о |
' |
|
+Л'к"м сом к0,„) - |
*• *,(Л?" Яш (-* + 2)0т - |
|
||
- л р |
соз (-;• + 2)й1П) - |
г * ,( л г Яш(-х-)вт |
- |
|
|
|
- Л р |
« ■ ( - * )* „ )) |
(22) |
0 композитных системах, состоящих из матрицы и жестких вклю чений, матрица — это единственная фаза, способная к изменению формы. В этих условиях деформирован не композита на микроуропие сводится только х деформированию матрицы: твердые включе ния, не изменяй формы, изменяют лишь взаимное расположение.
Матрица — также и самая слабая в прочностном отношен пн фа за композита. Поэтому его прочностные споПстна о конечном счете оародляются прочностью матрицы и прочностью се скрепления с илюче|шями.
В связи с этим анализ структурных напряжений должен быть ориентировал на исследование главным образом матрицы, вы налепнеобластей внутри нее и на поверхности ес контакта с включения ми, вкоторых ловликнесение микроповреждеиий наиболее вероятно.
Нам представляется целесообразным при анализе микрострук турпыхособенностей композита представлять поля структурных на пряжении н деформаций и матрице через средние (гидростатиче ские) напряжения аср н максимальные главные дс<|>ормацни как ме ри девнаториоИ дсформатишюстн (матрица принимается нами несжинаемой) Г|,е?» которые определяются по формулам
Н И Ш
ЦТ <С
жи и
__ (<гг 4-
СГер
С1 -
е? =
=0 .
Рис. 5. Схема 11ЛУ|>уж<*1П1)1 бесконечно* го упругого прос1рпист1ш, содержащего круглые включение
а у 4- <гг ) _ ( I Ч и )
(Дг + Ду) ,
(23)
Д ля характеристики условий скрепления матрицы с включения ми приняты нормальные напряжения <гг (сои ропишем не на отрыв) и сдвиговые (ггф(сопротивление на проскальзывание).
5.6.Вычисление полей напряжений
Вхачествс примера рассчитаем в рамках упругой плоской задачи поля напряжений вблизи двух жестких подокон к р у гл о т поперечно го сечения с диаметром />!• Между этими волокнами расположены
включення меньшего диаметра Полагаем, что соотношение их размеров задается как 0% = МЮ?. Нас интересует, каким образом
точность полученного решения снизана с числом итераций и числом членов рада о представлении позмуи^ениИ. Разложение в ряд (?? ) ыы ограничиваем до конечного числа членов;
±=0
Л\
(21)
Нее значения для числа Л/< берутся рапными М\ для включений с больший диаметром и ЛЬ — с малым. Коэффициент Пуассона для включений и шприцы полагаете и равным 0,5 (несжимаемые мате риалы), а модуль Юнга для включений Ер и матрицы Ет — судес7пенно отличным (Ь), = 100000/?,,,). Полагаем, что на удалении к матрице приложено единичное растятвающее напряжение т о л ь осе у (а^ - I, = 0, г“ = 0) Рассмотрим область, которая представляет для нас интерес с точки зрения распределения полей выражений. Па рис. 5 она отмечена киадратом. О этой области напряженки принимают наибольшие значения и градиенты их изме нении и связующем также оеллкн. Распределения нолей нктеисив- еостя напряжений и полей средних напряжений показаны на рис. 6.
Использование конечных сумм нместо бесконечных рядов приво диг к неточной оценке граничных условий. Максимальные погреш- 10СТК наблюдаются на границе волок ои с большими диаметрами. Сходююсть итерационного процесса происходит при достаточно вы сокой скорости, н начиная с 20-й итерации результаты расчетов по ли одинаковы. Максимальная погрешность в удовлетворении грашпних условий по напряжениям составляет менее 0,01 от нагрузки, плавной иа бесконечности ^ Таким образом, искомые критерии качествадоя получаемого решении удовлетворяются достаточно хо рошо, Расчеты проводились на ПЗМ РС 486ОХ-40. Нремя ей Чпеле
не! б Е111Г1.
а |
б |
Рис* (3. Распределение пплсИ гI1Л|ю стптн'ссскпх напряжении (а) н мнтсмспппосш ианряжеппП (б) и рассылгриц&емоМ области
6.Заключение
Предложенный итерационный алгоритм достаточно эффективен при решении многих задач о нагружении бесконечного упругого про странства, содержащего конечное число включений н полостей.
Эффект ииность алгоритма п сильной стсисли зависит от геоме трии исследуемой системы. Накопленный нами опыт решения задач показ!,тает, что п объемных задачах со сферическими иключениямн одниакоиого радиуса н п плоских задачах с наполнителем и виде круглых днекон применение алгоритма эффектною при расстоянии между частицами наполнителя, превышающем 0,1 радиуса иключепня. При расстояниях, меньших 0,05 этого радиуса, итерационный процесс становится расходящимся.
7.Список литературы
1.Бенерджи П., Баттерфилд Р, Методы граничных элементов в прикладных науках. М.г Мнр, 1984. 496 с.
2.Бреббия К.,Тсллсс Ж ., Блоубел Л. Методы граничных эл тон, М.: Мир, 1987. 526 с.