Материал: Структурные механизмы формирования механических свойств зернистых полимерных композитов
° Г Г |
= |
<Т°Г+ X ) < С |
|
|
П1=1 |
« м |
= |
го* + X ) ®й |
|
|
ш=1 |
|
|
N |
ГгО |
= |
<Г?<, + X] ^ |
|
|
Ш= 1 |
где N — число включении. 1Ъэлгожиость представления искомого решения втаком виде следует нз фундаментального свойства линей ныхзадач: сумма частных решений уравнений равновесия является тожеих решением. Искомые перемещения к напряжения каждого из слагаемых целесообразно выразить через соответствующие каждому нэ них аналитические функции уч, «?,>, 0,>. Возмущения около Г-го ьключепия в связующем имеют вид
2я («1 + *и\) = 0 “ ^)р«- - .
г г + ^ а = 2 (Й + ^ ') . |
|
|||
°'м - Кг + 2а<у^ |
= |
2 с2‘*' |
+ $ ) |
• |
Перемещения и напряжения |
внутри «-го включения определяются |
|||
формулами |
|
|
|
|
2р,(в*.1 + 1и“ ) |
= |
(а - *щ)<Си - |
|
- # | , |
*“ +<’& |
= |
М ^ ч + Й Л . |
|
|
<тУ„ - (г^+ 2<<г‘Ь |
= |
2 еМ| (г.'Рй + # |) |
, |
|
|да д| — модуль сдвига материала включении; /1 — модуль сдвига матрицы; штрих у выражен иП у>ь ^»ч> Фи укпэыиаст па опера цию дифференцирования этих функции по комплексному числу ц ;
черта над комплексными числами используется для обозначения со пряженных величин. В выписанных выше формулах самостоятель но используемый символ I обозпачасг мнимую единицу; сочетание индексов П говорит о принадлежности -соответствующей величины к характеристикам состояния материала 1-И частицы наполнителя; нижние индексы х, у, г, 1? использованы для конкретизации компо нент перемещений или тензоров напряжении, записанных в Декар товых (индексы х и у) или нолярких (индексы р и I?) координатах х,, !/«» г», 1-й системы координат, центр хотороИ совпадает с центром «-го включения.
5.2.Условия на бесконечности для однородного надряженного состояния
При растяжении (сжатии) матрицы без включений усилиями р по направлению, составляющему угол а с осыо X , напряженное со стояние характеризуется компонентами напряжения:
агг = р со 82а , ом —р81п3а , ог$ = рсозогвто ,
соответственно функции у>° и V*0 имеют вид
*р° = А г , |
= В г , |
А = р/4 , В = —р /2с_‘2“
При растяжении (сжатии) матрицы усилиями р цдоль оси X и 9 вдоль У напряженное состояние характеризуется компонентами
<Г°ТТ = Р , А * = Ч . А » = 0 •
Соответственно функции <Ра и V»0 равны
<р° = Аг , А = (р + <?)/4 .
^° = Д г ( Я = («7“ Р)/2
$.3. Граничные уело пн я
Для каждого лключення на границахматрица — включение тре буется выполнение равенств
“о + ыц = щ + аIV! ,<тГо = <тГ1 ,(г^)о = (гг*Ь »
где 0, 1 — соответственно матрица, включение; г, 0 — полярные координаты, связанные с центром т-го включения. Обозначим ком плексные потенциалы соответственно для матрицы у?о, ^о, для т-го включения символами у'/1, Через них граничные условия при нимают вид
М>Ро - * .„ Р о -А , |
= |
^ (кхф? - **пЧ>Т - |
. |
+ х,п + Фо |
= |
( р !" Ф гтфТ Ф Ф?) |
(19) |
Поэмтс функции □ олдс ридои Лорана:
-1
иг= |
Е |
К 4 , . . |
|
к = - о о |
|
|
оо |
|
. . т |
_ X"4 |
л 1п _> |
Р1 |
1?—0 |
ш . |
|
|
|
-1 |
|
11 |
и |
;= |
4 = -со
оо
^г = Е л1
*=о
гдр гл — номер включения; символ 0 — матрица, 1 — включение. При описании возмущений в матрице от включении нспользу-
еы только отрицательные коэффициенты о функциях (р™и А и так сак возмущения должны затухать на удалении от включении. Во включении рассматриваем только положительные коэффициенты и функциях у>'" к ДО1, поскольку напряжения не могут принимать бес конечные значения [4).
И формуле (10) выражения ра и 0о определяются суммоЛ
Ро ^ + Е Ж . .
1=1
N
( 12)
где Л — число включений.
Рассмотрим т -с включение, тогда и выражении (12) необходимо перейти к координатам хт но нее* слагаемых. Подставляя (11) и ( 12) и (10) и прярашишая выражения при одинаковых степенях е1*, получим следующую систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов ИД и В%\:
|
|
}-к %г1,т у |
(13) |
где Г|1ТП— радиус т-го включения; |
|
|
|
X; —3 —\щ |
(1 = 0, 1). |
|
|
(«* = 0,1) — соответственно коэффициенты Пуассона и модуль |
|||
сдвига матрицы, включения. |
|
|
|
Выпишем систему |
(13), объединяя уравнения при Д = |
- й и |
|
к = п + 2 и обозначая А]^ |
!)■ Использование коэфг |
||
фнциептов А #},!)}}*9 |
вместо А ^ ./В ^ позволит избежать по время |
||
вычисления переполнений арифметического устройства при опреде лении напряжений около включений с радиусом, существенно отли чающимся от единичного:
«оИ '". + ( - п - 2)д;»+3)о- ^ ™ =