уме происходит всегда из более горячих областей материала в более холодные.
Рассмотрим теперь особенности моделировании массообмеииых процессов. Подставим для этого значения напряжении Т,-, действу ющих на 1-й континуум, н силы взаимодействия 1, из формул (52)- (ББ) о уравнение движения (24):
|
/V |
- |
(<ЗнТ Г ‘ V о - 5 2 Ч ? (у * - у о) • |
|
1=1 |
Определим аналоги химических потенциалов жидких компонентов смеси с помощью выражений
|
(«>) |
1 |
ь=о |
Они отличаются от реальных химических потенциалов щ тол сомножителем
щ = га,- р? |
(61) |
где пц — масса одного моля *-го континуума. П результате закон движения (59), с учетом связи между операторами градиента места в актуальной г и рассматриваемой г, конфигурациях, переписывается в следующей формулировке:
N
= - 0 V/^} - &8{ Щ - ^ 1/^* (VI - У П)
к=1
Таким образом, движение г-го континуума происходит вследствие неоднородности химическою потенциала /Х| (или его аналога д*) и поля температур 0. При этом движению противодействуют силы вязкого взаимодействия компонентов смеси * —уо).
Последнее, в чем осталось убедиться, — это справедливость пера* вепства (49). Сразу следует отмстить, что симметричность полною
тензора напряжений Т и кососимметричность тензора У /р обраща ют и ноль результат их двойной свертки:
Т У?г> = 0 |
(«2) |
Используя выражения (50)-(56), (62), преобразуем огратечение (49):
N |
N |
|
|
|
5 2 2 |
Ч«‘ (у* - |
уо) - (у<- |
уа) + |
|
•=1 Ь=1 |
|
|
|
|
+ |
^ |
& й + |
\ ч, V » |
Я а ' 1 •(<Ь«Т) _,>^ > 0 . |
Второе слагаемое и полученном выражении не может принимать от рицательных значении. Доказывается это с помощью следующего преобразования
т . . т _ |
1 ( т |
- в ) ’ |
= ,*«* |
- |
| | « ! + « | + 1т?), = |
= |
\ |
- ^ |
) 2 + ( ° 1 |
- |
«?)2 + Щ - *?)’) > о (63) |
Первое слагаемое неотрицательно о соотистстшш с условием (58) Для моделирования проходящих в среде процессов необходимо
сформулировать еще одно уральские — теплопроводности. Для его получения необходимо подставить и закон сохранения энергии (27) с помощью связи (30) выражение массовой плотности с,- через харак теристики /*, 0,
1=0 |
|
1=0 |
|
+ 2 |
л в ( ж |
+ у?'V** ) + |
- |
Г=0 |
т |
|
1=1 |
IV
~ Т . . О „ - Т - \ У „ - ^ С*я - , - 1 | - У Ь , - т . ) т + 1=1
+ (Лп1)"1 • V Ч = о . |
(64) |
В равенстве (64) необходимо раскрыть значения производных по вре мени от величин Это осуществляется с помощью приведенных ниже формул. Первая получается на основе зависимостей (45), (47), (51) и имеет вид
о я
»=о д\) т
Вторая формула выводится на оскопе связей (7), (17), (19), (52), (54):
л N |
м м |
п . |
Е Е « ! |& - - Е З > Л $-ю*а-
1=0 *=1 4=0*=| е*
= - |
5 2 1 С л' |
""Ь |
^ |
А |
>/ч |
Ч д -1 • (у* - у°) + |
|
|
4=0 ±=1 |
|
|
|
|
|
|
+ |
0Ь \Л1 М лТ) " 1 |
|
^ |
(т Ь - |
У0)^ |
= |
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
= - 2 (С + г* V Л • Ч п "1 + |
|
||||||
|
4=1 |
|
|
|
|
|
|
+ |
4 0 |
СЗк-1) |
|
( ^ - У о ) |
+ |
||
+Е Яп~' Т ь ' 4 ( у * - у а)т
4=1
Витоге рассматриваемое выражение (64) при подстановке вы ных формул и зависимостей (50), (32) принимает вид
]С е‘° ( ж |
+ У <‘ ^ * < ) |
+ |
( * 1 - уо) + |
4=0 |
|
|
4=1 |
+ (<Элт |
) " ‘ • • V ч |
= |
О |
О учетом равенств (55) оно окончательно формулируется законом
= 5 ^ 5 2 <у‘ “ у°) <У| " у#) “ Ю яТ) 1 • ^ 1 •
1=14=1
связь л представляет собой закон теплопроводности. Изменение энтропии системы происходит за счет переноса се погонами компо нентов смеси, теплообмена среды с соседними областями, в результа те выделения тепла пусловиях вязкого взаимодействия компонентов смеси при движении друг относительно друга.
3.3. Краткая информация о модели
Для записи математических уравнений в отсчстпой конфигура ции используем основные характеристики состояния среды, иереч 11- слеш1ые итабл. 4. Часть из них представляют собой известные физи ческие параметры состояния среды, другая пасть является удобным обозначением нужных нам математических выражений.
Все процессы в материале в рамках рассматриваемой модели опи сываются уравнениями, сформулированными в табл. 5.
Свойства материала задаются скалярными функциями /;, т^ь(та6л. 6), Их необходимо определять экспериментально. При
ЭЮМ величины 7}у, Т)'* могут быть функциями параметров СОСТОЯНИЯ материала 0, <р\, , А], А2| Аз и их производных по времени. Важно только, чтобы удовлетворялись неравенства (67), (56).
Тензор напряжений среды Т , плотности энтропии компонентов смеси з; и аналоги химических потенциалов жидких составляющих материала р? однозначно выражаются через плотности свободных
энергий
4. С вой ства п л ас ти ф и ц и р о в ан н ы х эл асто м ер о в
Для решения конкретных задач необходимо знание массовых плотностей свободной энергии компонент материала.
•Далее всюду будем рассдшщриаащъ даукампошнткую с.месь, со стоящую уз полимера (дефоултруемый компонент) и пласти фикатора (жидкии ко.нноненгл).
Таблица А
Характеристики состояния среды
I. Градиент радиуса-вектора точек деформируемого коптииуут
__ дг(1,у4)
ОТ,
2.Мера деформации Фипгсри
3.А|2 — собственные значения меры Фишера
4.Ьа* — собствсилые векторы меры Фиигсра
5.О — температура
6.Характеристика относительной скорости движении «*-го конти нуума
V* = Чп-1 • - Уо)
7.Плотность 1-го континуума в смеси относительно огсчетиоЙ конфигурации
й = ч/Ц В(
8.Характеристика отношения объемов элементов среды л акту альной н отсчетиой коифигурациях
Ц= № п Т - Ч«)