Урапкепие (28) записано и перемспных 1,г. Нашей целью является формулировка бссх уравнений в координатах <,1%. Перейти к ним можно с помощью формул (5), (б):
ГУ |
ГГ |
|
|
|
ЛГ |
у/Ц&*1 С^/Г1 ■ (у1“ Уо)) + |
||
^ |
( ^ / ^ 5 2 |
+ |
^ |
• ( 5 ^ |
||||
|
|
+ |
V |
|
\ Щ |
^ д |
> 0 . |
|
|
|
|
Ч |
|
|
|
|
|
Зшгсигы сохранения массы (17), (18) и обозначен не (7) |
позволяют |
|||||||
прообразовать полученное неравенство |
|
|
||||||
5 2 |
-§[ + |
5 2 |
> /ч л 'уг V «I + |
д V |
1 *ч) - |
|||
1=0 |
|
1—0 |
|
|
|
|
|
|
|
- |
^ |
^ - Ч л " ' Ч > 0 . |
|
||||
Умножив его на температуру среды 0, разделив на выражение \/Ц н используя тождосию Пиола (19), приИдсм х окончательной фор мулировке:
Е |
» в ( ж + |
''* • * * ) + (Члт г * |
- |
^=0 |
у |
|
|
|
- |
I УО-СЗп-’ -ч > 0 . |
(29) |
Необходимые нам связи получены. С их помощью можно сфор мулировать требование термодинамической разумности уравнений, предлагаемых математическими моделями. Для э т о т вычтем нз закола сохранения энергии (27) ограничение (29).
1=0 |
1=0 |
N
+ 5 ] ^ *(у* - ^о) - Т • • Ол - Т • У/о -
/ X |У- //л а т ц ^ и к д т о р ц о элосглолерио.» л а т с р и я л е |
279 |
Ё Ч л~ 1 Т, |
V(V,- у.)т + 1 УО-<1Я" 1-Ч < 0 |
Г=1 |
^ |
С помощью ко][ЯТИя массопой плотности /< свободно!) энергии среды 1-го компонента смеси
/ < = с,- - 05,- |
(зо) |
осп нос термодинамическое иераненстпо преобразуется к виду |
|
Е « ( | |
+ *?- V /.) |
+ Е |
<**■( й + *?•■?*) + |
1=0 |
|
|'=0 |
|
N |
|
|
|
■УЕ Г< |
• ( * « - ' ' • ) |
- |
Т . - ЭТд-.УГо- - |
1=1 |
|
|
|
- Е <1/Г, Т) .уК -у0]т + |
|||
1^1 |
|
|
|
+ \ ^ 0 - 4 , Г 1 <1 < 0 . |
(31) |
||
Око должно выполняться для любого происходящего и материале процесса, Его мы и будем использовать в дальнейшем. 11а этом за к&пчниается нерпы!! этан построения математической модели. Кон кретизация се должна осуществляться применительно к определен ным классам материалов.
3.Математическая модель поведения пластификатора &неоднородно нагруженном эластомере
Рассмотрим меру упруго!! деформации Коши — Грика С.
С |
(32) |
Она представляет собоИ симметричныII положительныII тензор, т. е. 1) его правые собстасппые векторы д* являются одновременно и ле выми:
<з ■«* = В! о = (■*<* «.■)<>•> ; 2) собственные значения представляют собой исотри цательные чи
сла (обозначим их квадратами некоторых параметров А,); 3) соб ственные векторы 8| всегда могут быть нредстанлспы ортонормкрованной тройкой векторов, Обозначим символом О тензор поворота, переводящий базисные лекторы прямоугольной Декартовой системы координат С{ в ортоиормиропаппуютройку собственных векторов В)
тензора (3: |
|
В; = ° * е» |
(ЗД |
На основании сказанного, меру упругоИ деформации Коши — Грина С можно записать о виде выражения от се собственных значений А,2, тензора поворота О и базисных докторов с,:
<» = А,*2 = А,2 О фе,- -О7 (34)
а квадраты упругих удлинений вдоль главных осей А,-2 представить с помощью формул
А*2 = (е,с|)<1> О7 - С - О . |
(35) |
В даппой рабою рассматриваются материалы, плотности свобод ных энергий компонент которых /щ являются функциями темпера туры среды 0, характеристик се обратимых деформаций А,- и кон
центраций жидких компонент смеси |
Полагаем, что они |
|
имеют следующий вид: |
|
|
Л = Ае(0|РЬ”мРдг«Л],Л2>Аэ) . |
(36) |
|
Пол концентрациями жидких компонентов смеси подразумеваются выражения
=№
‘Р’ А й + - + /**«« В зависимости от физическое смысла констант 0} они могут иметь
значения объемной доли жидкого компонента, массовой доли, моль ной доли (отношение числа молекул данного вида к общему числу молекул в молом объеме) и т. и.
3.1. Изменении шлрпмотроп состояния упругой срсдос
Рассмотрим, как меняются по времени характеристики обрати мыхдеформаций А,. Продифференцируем равенство (35) но времени *. С помощью косвен ммстричкого тензора \У
- п г
но запишется ц виде
-
ЙС = (0.0,•)<!>.. ( № О т - С О + От ~ 0 +
+ 0 Т С-О 4 ^ ) =
д п = (<**)«> • • (\У ■А / с,с, + От - ■О +
+ А / <>;«». УГТ)
Правила свертки тензоров и кососимметричность тензора \У позво ляют упростить изученное выражение:
(^'"й г)< с> " (^•2с*С«)<1> • ‘ ^ + (<*•«•)<»> |
0 Г |
- О + |
= (АЛчс,)<|> .. У Г = (с;с1)<|> • От ~ |
- О . |
(37) |
Таким образом, задачА расшифровки закона изменения Л,- во време ни свелась к анализу поведения произнесло!! от тензора С.
Еще раз отметим, что иашеП целью является формулировка всех уравнении в координатах (,г,. Это касается я особенностей записи тензора О. Перейти к ис!1 позволяет связь
о |
= ± . = |
= |
- о |
О - 1 |
(38) |
^ |
0Г„ |
014 0Г„ 01'. 1 0 г ./ |
- Ч я |
|
|
Она справедлива, поскольку полагается позможнмм выражение искторов га и друг через друга и оно не зависит от времени 4:
г* = гй(г.), Г. = Г,(га).
В результате мера упругой деформации Коиш — Греша О предста вляется выражением
а = № |
/ ) - ' |
Р л ' Р я ' Р л " 1 |
От него нетрудно взять производную по времени I. Поскольку тензор не зависит от времени, искомая производная имеет вид
Я ® -- (ЯЮ лЛ )"1- - ^ - - < 3О / г ОЧ л ■' +I |
|
|
+ |
<*пТ ^ '* - Р / Г 1 |
НО) |
Изменим правую масть равенства (40), вкл( чкв о слагаемые свертку с единичным тензором:
Щ = (Р а7 ) - 1 - ( Р лМ Р я7) - ’) |
- ^ Р л |
Р и - ’ + |
|
+ ( « / ) “ Члт ^ |
( Ч |
; Г ‘ - Ч «) |
Р а' 1 |
Связь (38) позволяет записать в новом, более коротком виде полу ченное выражение;
§8 |
= Р Л < 0 л г >-, - |
^ - Ч . + |
|
|
+Я аТ ^ - Р л |
- ’ Р . . |
(«) |
Для дальнейшего анализа потребуется более конкретная расши фровка смысла тензора С)п. Рассмотрим се. П соотастствии с тео ремой о полярном разложении тензоров, справедливо равенстпо
Я* = Оа - К 9
в котором положительный симметричный тензор II и орто^нольиый те1гэор Оа определяются формулами
н = \Льт -ча1