Оа = Ъ л И " 1
На основании представлении (32), (34) легко установить непосред ственным вид тензора Н:
Н = А( О • еде* • От
Поэтому искомый тензор С)а может быть представлен с помощью записи
С}„ = О , ■Л,- е.е; • От |
(-12) |
в кото[х>11 символом О; обозначен тензор поворота
О , = 0 * 0 . |
(43) |
Леско проверить, что это тот самый ортогональный тензор* который получастей при представлении собственных векторов 1|, меры упру гой деформации Фишера Г через базисные векторы е* прямоугольпойДекартовой системы координат (подобнотому, как это было сде лано выше при анализе вида меры деформации Каши — Грина). Отметим также, что собственными значениями тензора Г выступа ют величины А,'2, которые являются од1101фСМСП1(о и собственными значениями тензора С:
1д |
г \ Т |
|
|
|
-(к )-(к Г = 1',0'"« " |
|
|||
Ъг = О; • С{ |
|
(44) |
||
Подставим значение тензора |
(42) в равенство (41): |
|
||
= О • Л,- ею/ • 0/т - (С^д7)**1 - ^ |
• О/ . Д; |
• От + |
||
+0 • Л, 0(«ч • о / |
^ |
. <*„-> |
О; А, о,с, |
От |
Оно поэполнт нам переписать производную по времени от параметра ^ (37) в новом виде:
(о • А/ |
0/Т • (ОлТ)-1 |
^ |
' ■О/ • А* с*сй От + |
|||
+ О • А; е,е, - О / • |
• Чя“' ’ ° / |
*А± «*е* • От) |
о . |
|||
Преобразуем ее: |
|
|
|
|
|
|
^ = |
Й |
ад)<1> |
|
|
|
|
|
(*/ в/°д -°1Г '(<Ь7'Г' • |
^ |
-О/ - Л* о*е*) |
+ |
||
+ Й * * )< ,> |
|
|
|
|
||
‘ ’ |
(*/ е/Ч ' ° / Г ■ |
' ^1‘ |
О / ' А* О»0*) = |
|
||
= ЙЛ(ЗД)<(>
Используя формулировку (26) и связи (33), (4*1), получаем оконча тельный вид искомого выражения:
-0|Г = |
(А<®<0<)<г> • • °^Т • Ол • О/ = |
|
|
|
= |
(А< |
• • Сд = (А,- |
Од |
(45) |
3.2.Определяющие уравнения процессок
Всрцемся к анализу термодинамического неравенства (31). Мас совые плотности свободных энергий Д зависят только от парам**
троп 0, |
у>//, Аь, А*, Аз (согласно сделанному предположению |
|
(36)). В спою очередь величины V»!,..., у>лг выражаются через харак |
||
теристики содержании жидких компонентой смеси е\, |
ей Они |
|
изменяются с течением времени (в противоположность неизменной характеристике #2). Поэтому в дальнейшем изложении всюду будем полагать в качестве изменяемых параметров состояния среды поличины 0, А|, Лг, Аз, Раскроем значения производных от
плогпосгсИ /, : |
|
|
|
|
|
|
|
||
^ |
я л |
__ V 4 |
0 •(ОЬ.Щ |
* V 4 |
я л |
я ^ |
, яд- ЯХ] \ |
№ |
|
Ы |
еС 01 |
~ |
\ д& 01 |
Ь^1 |
^ |
01 |
дХ> 01 ) |
||
|
|||||||||
Суммирование но индексу к начинаетел нс с нуля, а с единицы, о соответствии с условием (18). Конкретный пид производной от па раметра А* по прсмени ( мы уже определили (45). Нскользуя обо значение
перепишем термодинамическое нсрляенстпо (31) в более удобном для анализа пидс:
Ё « |
(1 |
|
|
+ |
-ж0 |
+ |
1 > |
' * |
' |
|
|
1=0 |
|
|
|
|
|
Г=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л |
Л |
|
Л Л О |
• |
|
|
+ |
|
ь, |
о * . Е 1 > г | | ь - |
|
|||||||
|
Н |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
N |
|
- |
^ 2 |
< |
} |
п |
~ ' |
о |
) |
Т |
+ |
X ] Г( •(*«-■*<>) |
- |
|
1=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1=1 |
|
- Т - |
О* |
- |
Т |
УГо + ^ |
$0-Сгп-*-Ч < 0. |
(48) |
|||||
Учитывая, что скорости V*' определены выражениями (7), справед ливо равенство (19) и законы сохранения массы (17) могут быть сформулированы в виде
^ |
= |
- |
V • |
( \/Цбк |
1 *(V* - Уд)) = |
|
= |
- |
у /Ч |
V ек • Яп~' ■(у ь ~ уо) - |
|
- / Ц б к Я л " 1 * * V (у » - у 0 ) т
перепашем ограничение (48):
2> ( ж |
+ *)§? + <Г^А' |
° я ~ |
||||
<гО |
|
|
|
|
|
|
«=14 4=0 |
|
ив* |
|
|
|
|
- |
|
<1я*‘ - й ) |
N |
- ''• ) |
- |
|
- Е |
ч « - |
|
|
|
+ |
|
*=1 |
\ |
4=0 |
^ |
|
|
|
+ |
Т ^ |
7 ( У ( - У 0)Т - |
Т |
Б и |
- |
|
- Т . |
\ У » |
+ ^ |
У ^ ' Р л _ 1 ' Ч < 0 . |
(49) |
||
Таким образом, требование непротиворечивости математнческоИ модели первому и второму законам термодинамики свелось к удо влетворению неравенства диссипации, сформулированного и виде (49). Существует множество способов построить определяющие урав нения поведения материала, которые удовлетворяют этому неравен ству. Ниже приводится одна из поэмрэкных физически раэумиьзх систем уравнении. Рассмотрим ее.
Пусть поведение континуума определяется св
8{ |
= |
|
дП |
|
(50) |
|
до 1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
т |
= |
|
М».-, |
|
(51) |
т, |
= |
- |
< № * |
( |
(52) |
и |
= |
п |
+ |
. |
(52) |
|
|
|
- |
ем 7<Ч <*„"• |
(54) |
|
|
N |
|
|
|
= |
-X ] |
Ч? (у * ~ уо) * |
(55) |
«1 |
= |
- Ъ ( с*пТ)~' V». |
( 5 6 ) |
|
V. |
> |
О |
|
(57) |
Причем для любого набора векторов а; (1 = 1 |
, АТ) должно выпол |
|||
няться неравенство |
|
|
|
|
лг N
(55)
Первое равенство в системе уравнении (50) фиксирует известное и термодинамике утверждение. Массовая плотность энтропии среды *< рапна производной от массовой плотности свободной энергии /» по температуре 0, взятой с противоположным знаком.
Следующие выражения (47), (51) известны и механике. Величина главных значений равновесных компонент напряжений <г\ однеэпач- 110 определяется массовыми равновесными плотностями свободной энергии среды /(. При этом их пространственней ориентация опре деляется собственными векторами к,- меры дсс}юрмацп11 Фиигора Р .
Равенство (56), переписанное с учетом связи между операторами градиента места в актуальной г и рассматриваемой г. конфигураци ях
4 = - ч, У0 ,
представляет собой закон теплопроводности Фурье. Его физический смысл сводится к утверждению того, что передача тепла в коптину-