Таблица 5
Законы пошдання мптсрипна
1. |
Уравнение дтшжеиия среды |
|
|
N |
|
|
- (Ч л Т )-1 -V Т = О |
|
|
|-=0 |
|
2. |
Уравнении движения жидких хомпок |
|
|
= - р,- (с$яг ) 1 V/!? - |
е;ъ (<3ЛТГ 1 ■V О |
|
- ] С $ (у ‘ - у «) - |
(• > ° ) |
3.Уравнения неразрывности компонентой смсс]|
Д| ( |
) — 0 , |
^ ( \ / Ч й ) + V - * ч/ Т Г й » ; ) = о, ( | > о)
Уравнение теплопроводности
N
^ ^ { ЦТ ^ |
^ |
^ |
) ' 1 V П |
Таблица 6
СпоИства материала
1.Тензор истинных напряжении (тензор напряжении Коши)
т ‘ |
= |
7 5 |
* |
я ) |
^ |
2.Энтропия компонентой смеси
=- 2Адо
3.Аналоги химических потенциалов жидких компонентов смеси
N
“ 08$ ( ^ в‘ Л)
4. Поток тепла
а= - ч , ( Ч ят) ~ '- ч о
5.Производство тепла при массообмепных процессах
N ЛГ
Ъ |
(у* - уо) • К - уо) |
Прежде чем выбрать какую-либо форму их математической за писи, необходимо уточнить особенности математического описания поведения среды, связанные с ее объемными изменениями,
4.1.Понятие механической несжимаемости среды
Вподавляющем большинстве случаев полимерные материалы можно считать механически несжимаемыми, Пи при каком внеш нем нагружении (если только не произойдет появления разрывов среды) объем материала измениться не может. Количество жидко
сти в эластомере уменьшаете и при сушке (испарении жидкой фазы) к увеличивается при сорбции (поглощении) жидкого компонента из окружающей среды. Только эти процессы вызывают объемные из менения эластомера, а не приложенные нагрузки.
Рассмотрим, как можно записать условие изменении объема сре ды при моделировании ес свойств. Пусть псе точки материала на ходятся и одних и тех же условиях (имеют одинаковую температу ру, содержат одинаковое количество жидкого компонента, одинаково нагружены). 13 момент заиишания полимерных молекул в сетку л в момент нанесения на материал Лагранжевых (подвижных) коорди нат состояние среды считаем также однородным. Обозначим следу ющими символами объемы среды: V — в рассматриваемый момент премспи; V, — в отсчетом состоянии (когда на материал наносились Лаграижевы координаты и объемная доля жидкой фазы равнялась Р»)> Цэ — в момент зашивания полимерных молекул в сетку (при объемной доле жидкой фазы р@); V* — сухого нулкаинэата (заши тою эластомера).
Постулируем далее существование связей:
К |
= |
(1 -Ч>)У . |
(««) |
|
У. |
= |
(1 - Р о ) |
Кэ . |
(67) |
у. |
= (1 -V ».) |
V. , |
(08) |
|
что означает равенство |
|
|
|
|
|
V |
_ 1 — V5* |
|
(09) |
|
V. |
1 - р |
' |
|
|
|
|||
Выражение (69), с учетом физического смысла отношения объемов.
А1Л2Л.3 = \/Ц — у - >
позволяет сформулировать требование механической несжимаемо стп среды:
у/Ц - |
= о |
(70) |
В сжимаемой среде главные компоненты тензора напряжений и химическиВ потенциал жилкой фазы определяются выражениями (47), (60). (61):
• ! - 5 я 3 ( * и ; ( ' { * + |
' ! Л ) ) < 1 > |
'* = я : ( л а + л л ) . |
и |
где п, — плотность молей жидкой фазы в среде и отсчетной конфк* г}’рации (количество молей жидкого компонента, отнесенное к объ ему среды в отсчетной конфигурации К).
Чтобы учесть механическую несжимаемость среды, пспол1>зуеы метод неопределенных множителей Лигранжа. Для этого вместо потенциала массовой плотиости свободной энергии /о, подставим в выражения новый потенциал
Я ‘ ”. (ч/Ч - |
+ /. |
При выполнении условии (70) массовые плотности свободной энер гии деформируемого компонента $ и /о не отличаются друг ох дру га. Эго позволяет ним подставить вместо потенциала /о потенциал /У в равенства (71), (72) н выбрать значение неопределенного пара метра ра в каждой точке среды таким образом, чтобы условие (70) нс нарушалось:
= Р»Лоу^1 + ( 7 Г ^ > |
^ т ( '’вЛ + р' /1} ) |
' (73> |
+ ^ (Л Л + Д Л ) ^ |
(74) |
Отношение плотности полимера и составе смеси ро к плотности сухого полимера обратно пропорционально отношению их объ
емов:
Ро К
РЬ V
На основании утверждения (66) справедли
Ре = (1~р)Ро
Поэтому главные компоненты тензора напряжений (73), с учетом (70), принимают окончательный вид
^ = р + ( 7 Г ^ ) |
( Л‘ Ж;{Л к |
(?5) |
где |
|
|
Р = |
Р. (1 “ 7>.)Ро |
И6) |
Средине (гидростатические) напряжения в материале определяются пыражепнем
= |
з (т] + «•! + <г?) = |
|
= |
» + 1 № ! ) х‘ т ( Л к + * к ) |
[11) |
Рассмотрим теперь математическую запись (74). Для нахожде ния химическою потенциала жидкой фазы необходимо установить