где Я(...) — функция Хевисайда. По своему виду формулы (13), (14) имоминают выражения, используемые для описания долговечности эластомерных материалов Целесообразность их применения может быгь подтверждена путем сравнения расчетных значении с экспери ментальными данными. П табл.1 ирнаедены необходимые формулы для моделирования условий появления повреждений.
3.Моделирование условий появления повреждений около одной частиды наполнителя
Прежде чем анализировать условия появления и роста поврсждсшюсти на ансамблях включений или композите в целом, разум но остановиться из анализе ситуации около одного единственного
включения, Масштабные явлении разрушения обнаруживаются да жеоколо едилетнейной частицы наполнителя с размерами от одного до соток микрометров (26].
Чтобы объяснить их с позиций статистических теорий прочности, необходимо допустить существование субмикроскопических дефек тов п системе на масштабном уровне, измеряемом долями микро негров, Фактически это означает существо шише дефектов на фи зическом уровне среды (соизмеримых с короткими отрезками цепей полимерных молекул). При этом возникают вопросы: что они могут представлять? какова их физическая природа?
В то же время для объяснения явления только одним фактом существования слоя с особыми свойствами на поверхностях вклю чения или специфическими процессами на границе наполнитель - связующее потребуется дать огглст «а другой вопрос. Почему мас штабный эффект прочности наблюдается на характерных размерах, измеряемых и микрометрами, и сотнями микрометрои?
Далее исследуется ситуация с кннстико-статистичсской. точки зрения.
3.1.Появление повреждений н бесконечной матрице, содержащей сферическое пклю чеин с
Рассмотрим бесконечный упругий материал, содержащий твердое сферическое включение. На границе матрица - частица наполни теля ВЫПОЛ11ЯЮТСя условия полного прилипания. Па бссконсчпосги приложено однородное иоле нагружения, изменяющееся но времени. Пусть зто будет одноосное растяжение вдоль оси г.п напряжением, равным
^0 ~ Iо) ,
где — константа, имеющая смысл скорости приложения нагруз ки на бесконечности. Вычисления осуществим ь рамках линейной Гуковой модели. Безусловно, более правильным и расчетах было бы использование нелинейных моделей с конечными деформациями среда, но они значительно затруднят задачу. Б решениях изменятся только количественные значения величин. Качественный характер вычисленных закономерностей и их принципиальных отличий оста нется без изменения. Кае сейчас интересуют именно качественные отличия. Поэтому в расчетах долее будет использовина более про стая Гукова модель.
Похожем, что предлагаемая точка зрения способна воспроизво дить наблюдаемые в экспериментах явления. Б качестве инварианта <г| в формуле (13) выберем среднее (гидростатическое) напряжение
^ (<П + <Г2+ *э)
Здесь симнолами о \%а^усг3 обозначены главные напряжения в точ ках среды. В качестве скалярной характеристики отрывных усилий аа в формуле (14) на поверхности включения используем компонен ту тензора напряжений схг
оа = <тгг
Это силы, отнесенные к единице площади на границе частицы, дей ствующие со стороны связующего но оси г п сферической системе координат. Б качестве основных характеристик для расчета усло вий появления повреждений <?ь и с а выбраны величины <гл ц #гг а
целях точного воспроизведения места, где повреждения позли Изш являются и материале полюса сферических частиц [26].
Используем аналитическое решение [27]. Коле гидростатических напряжении п матрице около частицы наполнителя описывается фарнулоМ
он = ^ с о + ^ ( у ) (з 006*0 - 1) <Гсо
Распределение компоненты тензора напряжений аТГ задастся выра жением
= 3 г< |
( Ы (?)'-(*)■ ) |
|
X ^3 |
соя2 0 —1^ Ооо |
(15) |
Эластомер считается несжимаемым материалом (коэффициент Пу ассона матрицы ранен 0,5). I) приведенных записимостях параметр гр обозначает радиус частпцьг наполнителя, г и (3 — координаты сферической системы координат, связанной с Декартовыми коорди натами 2 1, 22, хз соотношениями
ЭГ1 |
= |
Г 81П0 СОЯ О , |
Х2 |
= |
Г $1110 81ЦС* , |
Жз |
— |
Г СО8 0 . |
Сразу отметим, что во всех испытаниях образцов будет наблю даться только когезионное разрушение матрицы, когда оклад по верхностного интеграла в формуле (10) существенно меньше вклада от объемного интеграла:
Л К(0а)<15(И « 1 Л Ъ(<П) ж Л1
5
Иэтом случае выражение (10) эквивалентно формуле (11).
Возможна и обратпап ситуация, По псеч испытаниях б уд етфик сироваться адгезионный огрып матрицы от поверхности частицы, ко гда знаки неравенства (10) изменятся на противоположные:
Вэтом случае выражение (10) эквивалентно формуле (12). На прак тике такого результата можно добиться с помощью специальной об работки поверхности включения [26]. В расчетах подобны11 резуль тат получается при задании нулю значении соответственно Ва в фор муле (14) или Вк в формуле (13). Так мы и будем поступать. Эю позволит нам анализировать раздельно когезионныИ масштабный и адгезионный масштабный эффекты прочности.
Осуществив необходимые математические выкладки, получии следующее. Вероятность появления когезионного повреждения в ма трице определяется выражением
адгезионного разрушения (отслоения эластомера от поперхн С1ицы, появление вакуоли в системе) — выражением
Р а - 1 ~ ехр
( -
в котором значения безразмерных величин ./* к ^а вычислялся и формулам
<
иV
Л < *~ ) = |
/ / / V * |
- ° ' Г ) л и л = |
|
|
|
1о |
5 |
|
|
_са1_ I |
|
( / / |
(й )" п "‘ - |
' 5) *=■ |
7 " " “ ( / / ( Й ) " " " - - 1* ! " ) * -
где (к = я ,,| + 1г-Ра, са = р”* и гр2, Здесь символ р обозначает модуль сдвига эластомера. 06м>см V в данном случае бесконечен. Подын тегральное выражение и объемном интеграле отлично от нуля лишь на конечной части области V благодаря функции Хевисайда п вы ражении /*|.(<г*). Нетрудно проверить, что величины Л и Зл пред ставляют собой безразмерные функции параметра <гм , не зависят от радиуса включения гг и скорости нагружения «г^.
Осуществим расчеты для конкретного материала. Пусть это бу дет эластомер С]я-4. Эксперименты выполнены Парком и Джеитом [26]. Их можно коспроизвести в расчетах, выбирая соответственно следующие значения констант: Вь = 7 ,1 7 -107 МПа-3,3 м-3 - с-1 ;
яь = |
3,3, йгр1'» = |
1,7 МПа; Ва = 8,67 • 10а МПа“3 - м~2 - с“ 1; пй = 3; |
с™" |
= 0; р = 0,6 МПа. Для скорости приложения нагрузки на |
|
бесконечности |
выбираем значение 0,001 МПа/с (к сожалению, в |
|
(26] данная характеристика не указана).
Результаты вычислений показаны на рис. 1. Именно п таких ко ординатах представлены в работе Парка и Джемта эксперименталь ные донные [26]. Там же сделан вывод о разумности аппроксимации эмпирических результатов в указанных координатах линейной зави симостью напряжений сгоо (вызывающих появление повреждения в системе) от пели чины О~0ш*
. В
со© = А. 4* г—•
</0
В наших же расчетах линейная связь получилась только для усло вия адгезионного разрушения. Однако пелинейния зависимость для