Материал: Сумин Интегралные уравнения Фредголма и Волтерра 2016

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Исходное неоднородное интегральное уравнение имеет бесконечное множество решений, которые определяются по формуле:

y(x) = −C2λ sin x + cos3x = C2 π2 sin x +cos 3x = C sin x +cos 3x .

Соответствующее однородное интегральное уравнение имеет бесконечное множество решений, которые определяются формулой:

y(x) = C2λ sin x = C2 − π2 sin x = C4 sin x

( λ2 является характеристическим числом, 2-й случай альтернативы Фредгольма).

Глава 2. Интегральные уравнения Вольтерра

§ 8. Уравнения Вольтерра. Основные понятия и определения

Линейным интегральным уравнением Вольтерра 2-го рода на-

зывается уравнение вида

y(x) −λ ∫x	K (x, t) y(t) dt = f (x) .	(8.1)
a

Интегральное уравнение вида

∫x	K(x, t) y(t) dt = f (x)	(8.2)
a

называется интегральным уравнением Вольтерра 1-го рода. Все обозначения в уравнениях (8.1), (8.2) аналогичны обозначениям в уравнениях Фредгольма (1.1), (1.2).

Формально уравнения Вольтерра (8.1), (8.2) можно рассматривать как частный случай уравнений Фредгольма (1.1), (1.2), полагая в уравнениях Фредгольма K (x, t) ≡ 0 при t > x или рассматривая

ядро интегрального уравнения Вольтерра в треугольнике a ≤ x ≤ b , a ≤ t ≤ x . Однако физические задачи, приводящие к уравнениям Вольтерра и Фредгольма, а также свойства решений этих уравнений существенно различны. Поэтому уравнения Вольтерра выделяют в отдельный тип интегральных уравнений.

§ 9. Метод последовательных приближений

Уравнения Вольтерра в отличие от уравнений Фредгольма всегда имеют единственное решение. В частности, уравнение Вольтерра 2-го рода (8.1) имеет единственное решение при любом значении числового параметра λ. Это решение может быть найдено

методом последовательных приближений. Выбирая произвольным образом нулевое приближение y0 (x) , можно с помощью рекуррентной формулы

yn (x) = f (x) + λ ∫x	K (x, t) yn−1 (t) dt	(9.1)
a

построить последовательность функций {yn (x)}, которая всегда сходится к единственному решению интегрального уравнения при

n → ∞ , т.е. y(x) = lim yn (x) .

n→∞

Пример 9.1. Решить методом последовательных приближений интегральное уравнение

y(x) = ∫x

y(t) dt +

Решение. Отметим, что в данном уравнении λ =1,

K (x, t) =1 .

В качестве нулевого приближения возьмем

y0 (x) =1 . Строим

последовательность функций {yn (x)} по формуле (9.1):

y1 (x) = f (x) + ∫x

K (x, t) y0 (t) dt =

∫x

1 dt =

+ x ,

y2 (x) = f (x) + ∫x

K (x, t) y1 (t) dt =

+ ∫

+ t dt =

= x2 +

y3 (x) = f (x) + ∫ K (x, t) y2

(t) dt =

∫

dt =

…,

yn (x) = f (x) + ∫x

K (x, t) yn−1 (t) dt =

+... +

= 1

+ x +

+... +

−(x +1)

= ∑

− x −1.

2! 3!

k =0

Отсюда точное решение y(x) определяется как предел

			n	xk			x
y(x) = lim	yn	(x) = lim	∑		− x −1	= e		− x −1 .
				k!
n→∞		n→∞ k =0

Пример 9.2. Решить методом последовательных приближений интегральное уравнение

	y(x) = x +1 − ∫x	y(t) dt .
	0
Отметим, что в данном уравнении λ =1, K (x, t) =1 .
В	качестве нулевого приближения возьмем свободный член
f (x)	данного уравнения, т.е. y0 (x) = f (x) = x +1 .

Строим по формуле (9.1) последовательность функций {yn (x)}:

y1 (x) = f (x) + ∫x

K (x, t) y0 (t) dt =

= x +1 − ∫x

(t +1) dt = x +1−

− x =1 −

y2 (x) = f (x) + ∫ K (x, t) y1 (t) dt = x +1− ∫ 1

−

dt =

= x +1 − x +

=1 +

y3 (x) = f (x) + ∫x

K(x, t) y2 (t) dt =

= x +1 − ∫

dt = x +1− x

−

=1−

…,

xn+1

yn (x) = f (x) + ∫0 K (x, t) yn−1 (t) dt =1+ (−1)n (n +1)!.

Отсюда точное решение y(x) определяется как предел

y(x) = lim	y		(x) = lim	1+ (−1)n	xn+1	=1 .
		n

n→∞			n→∞		(n +1)!

§10. Решение интегрального уравнения путем сведения его

кдифференциальному уравнению

Если в интегральных уравнениях (8.1), (8.2) ядро K (x, t) и свободный член f (x) имеют непрерывные производные по перемен-

ной x, то эти уравнения могут быть почленно продифференцированы несколько раз. Это позволяет свести решение интегрального уравнения к задаче Коши для некоторого обыкновенного дифференциального уравнения. Отметим, что производная от интеграла вычисляется по формуле

d	∫x	K (x, t) y(t) dt = K (x, x) y(x) + ∫x	∂K (x, t)	y(t) dt . (10.1)
dx			∂x
	0	0

Пример 10.1. Решить интегральное уравнение y(x) = x + ∫x xty(t) dt.

Решение. Данное уравнение перепишем в следующем виде

	x
y(x) = x 1	+ ∫ ty(t) dt .
	0

Обозначим

z(x) =1+ ∫x ty(t) dt .

Продифференцируем последнее уравнение и найдем z′(x) = xy(x) .

Так как y(x) = x z(x) , то получаем обыкновенное дифференциальное уравнение z′(x) = x2 z(x) . Отсюда z(x) = Cex3 /3 .

Источник: https://studfile.net/preview/16708714/

Смотрите также:



_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога
"Их невинная наложница "