Материал: Сумин Интегралные уравнения Фредголма и Волтерра 2016

Отсюда точное решение y(x) определяется как предел

= 2 ch x −2 = 2 (ch x −1) .

3-й способ. Дважды продифференцируем данное интегральное уравнение и учтем (10.1). Получим

y′(x) = ∫x y(x) dt + 2x ,

0

y′′(x) = y(x) + 2 .

Решая последнее обыкновенное дифференциальное уравнение,

будет функция y(x) = 2 (ch x −1) .

§ 12. Интегральные уравнения с вырожденным ядром

Если ядро интегрального уравнения Вольтерра (8.1) является вырожденным, т.е. имеет вид, определяемый формулой (4.1), то уравнение Вольтерра 2-го рода можно записать в виде

56

и подставим их в уравнение (12.1). Решение интегрального уравнения (8.1) с вырожденным ядром (4.1) принимает вид

k =1

Продифференцировав формулы (12.2) и подставив в полученные соотношения выражение y(x) из (12.3), получим систему диффе-

ренциальных уравнений для неизвестных функций zk (x) : zk′(x) = qk (x) y(x) =

n

= λ ∑ qk (x) pj (x) z j (x) + f (x) qk (x) , k = 1, 2, …, n. (12.4)

j=1

Из (12.2) при x = a вытекают начальные условия для функций zk (x) : z1 (a) = z2 (a) =... = zn (a) =0 . Полученные функции zk (x) ( k =1, n ) подставляем в (12.3) и получаем решение исходного инте-

грального уравнения Вольтерра 2-го рода с вырожденным ядром. Пример 12.1. Решить интегральное уравнение

y(x) = ∫x 2t y(t) dt + x2 .

1 x2

Решение. Ядро K (x, t) = xt2 является вырожденным, параметр

λ= 2 .

Обозначим

Тогда исходное уравнение запишется в виде

57

Решением этого уравнения с учетом начального условия z(1) = 0 будет функция

z(x) = 12 (x4 − x2 ).

Подставляя ее в (12.6), получаем решение исходного интегрального уравнения:

y(x) = x22 z(x) + x2 = 2x2 −1 .

Пример 12.2. Решить интегральное уравнение

Решение. Ядро K (x, t) = t ln1 x является вырожденным, параметр

λ= 2 .

Обозначим

Тогда исходное уравнение запишется в виде

Продифференцируем (12.7) и подставим вместо y(x) выражение

(12.8). Получим

Решением этого уравнения с учетом начального условия z(e) =0 будет функция

58

z(x) = ln2 x −ln x .

Подставляя ее в (12.8), получаем решение исходного интегрального уравнения:

y(x) = ln2x z(x) +1 = 2 ln x −1.

§ 13. Интегральные уравнения с разностным ядром. Преобразование Лапласа. Решение интегральных и интегро-дифференциальных уравнений

Интегральные уравнения Вольтерра 1-го и 2-го рода

у которых ядро K (x, t) зависит лишь от разности аргументов, т.е.

K (x, t) = K (x −t) , называются интегральными уравнениями Воль-

терра 1-го и 2-го рода типа свертки. Такие уравнения могут быть решены операторным методом. Суть этого метода состоит в том, что каждой функции f (x) (называемой оригиналом) взаимно одно-

значно ставится в соответствие функция F( p) (называемая изображением) по следующему правилу:

F ( p) = +∞∫ f (x) e− px dx ,

0

которое называется преобразованием Лапласа. Ключевым свойством преобразования Лапласа является свойство умножения изображений (теорема о свертке), которое определяется следующим соотношением:

59

т.е. изображение свертки оригиналов f (x) * g(x) равно произведению их изображений F( p) и G( p) . Здесь соответствия между оригиналами f (x) и g(x) и их изображениями F( p) и G( p) обозначаются символически так: f (x) F( p) , g(x) G( p) .

Пусть y(x) Y ( p) , f (x) F( p) , K (x) K( p) . Пользуясь свой-

ством линейности преобразования Лапласа и теоремой о свертке (13.3), преобразуем исходное интегральное уравнение (13.2) в алгебраическое уравнение относительно изображений (операторное уравнение)

По полученному изображению (13.5) восстанавливаем искомую функцию y(x) . Для перехода от оригиналов f (x) к изображениям

F( p) и обратно используем таблицу соответствия (табл. 13.1).

Пример 13.1. Решить интегральное уравнение с помощью преобразования Лапласа

сти преобразования Лапласа и теоремой о свертке, получаем следующее операторное уравнение

на сумму простейших дробей, получаем

60