Материал: Сумин Интегралные уравнения Фредголма и Волтерра 2016

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Все эти решения определяются формулой

y(x) = Cλ cos2 x = 2πC cos2 x = C1 cos2 x .

Пример 7.3. Исследовать на разрешимость при различных значениях параметра λ интегральное уравнение

y(x) −λ ∫1

(2xt − 4x2 ) y(t) dt =1 − 2x .

Решение.

Ядро K (x, t) = 2xt − 4x2

является вырожденным, где

p (x) = 2x , q (t) =t , p

(x) = −4x2 , q (t) =1.

Запишем интегральное уравнение в следующем виде:

y(x) =λ 2x ∫1

ty(t) dt −λ 4x2 ∫1

y(t) dt +1 −2x .

Обозначим C1 = ∫1

ty(t) dt , C2

= ∫1

y(t) dt . Тогда

интегральное

уравнение запишется следующим образом:

y(x) = C λ 2x −C

λ 4x2 +1 − 2x .

(7.11)

Подставим (7.11) в выражения для C1 и C2 и получим систему

уравнений

C1 =

∫ t(C1 2λt −C2λ 4t2 +1 − 2t) dt;

∫1

C2 =

(C1λ 2t −C2λ 4t2 +1− 2t) dt,

или

					2					1
			C1	1 −		λ +C2			λ = −		;
			C1	1 −	3	λ +C2			λ = −	6	;
					3					6	(7.12)
							1	+ 4	λ = 0.		(7.12)
			−C λ + C				1	+ 4	λ = 0.
				1		2		3
								3
Вычислим главный определитель									и вспомогательные определи-
тели C и	C	2	системы уравнений (7.12):
1		2

	1 −	2	λ	λ										2						4							λ			2
	1 −	3	λ	λ																						2				2
		3																								2
=						4				= 1 −						λ 1			+			λ		+λ			=		+1	,
=										= 1 −				3		λ 1			+	3		λ		+λ			=	3	+1	,
	−λ 1			+				λ						3						3								3
	−λ 1			+	3			λ
					3
							−		1			λ							1					4
									1

							6
			C1 =										4				= −			1 +					λ		,
			C1 =														= −		6	1 +				3	λ		,
								0		1	+				λ				6					3
								0		1	+		3		λ
													3
								=		1−	2		λ			−		1	= −		1		λ .
											2							1

					C2						3					6
					C2						3					6					6
										−λ						0					6
										−λ						0

Если ≠ 0 , то по формулам Крамера

				−	1			+	4
				−	6	1		+	3	λ
C	=	C1	=		6				3			,
C	=		=						2			,
1						λ			2
						3	+1
						3
						−		λ
	C2 =		C2	=				6			.
	C2 =			=		λ				3	.
						λ
						3	+1
						3

1. Если λ ≠ −3 , то данное неоднородное интегральное уравнение имеет единственное решение

	−2λx		1		+	4					λ
	−2λx			1	+		λ 4x2				λ
											2
y(x) =			6			3		+			6	+1− 2x =
y(x) =		λ			2			+	λ	+	2	+1− 2x =
		λ			2				λ		2
				+1					3		1
	3								3

= 3x(2λ2 x −2λ2 −5λ −6) +(λ +3)2

(λ +3)2 ,

а соответствующее однородное уравнение

y(x) −λ ∫1 (2xt −4x2 ) y(t) dt = 0

имеет только нулевое решение (λ не является характеристическим числом, 1-й случай альтернативы Фредгольма).

2. Если λ = −3 , то система уравнений (7.12) принимает вид

			1						1
3C1	−3C2	= −		;	или	C1	−C2	= −		;
3C1	−3C2	= −	6	;		C1	−C2	= −	18	;
			6						18
	−3C2	= 0,					−C2	= 0.
3C1	−3C2	= 0,				C1	−C2	= 0.

Данная система уравнений несовместна, т.е. решений не имеет. Отметим, что исходное неоднородное интегральное уравнение также не имеет решений, так как правая часть f (x) =1−2x не ор-

тогональна к p (x) = 2x		и p	2	(x) = −4x2 , поскольку
	1		2
∫1	(1− 2x) 2x dx ≠ 0 и ∫1				(1− 2x) (−4x2 ) dx ≠ 0 .
0				0

Соответствующее однородное уравнение имеет бесконечное множество решений (λ – характеристическое число, 2-й случай альтернативы Фредгольма), так как однородная система уравнений для определения C1 и C2 , соответствующая (7.12), принимает вид

3C1 −3C2 = 0;

3C1 −3C2 = 0,

откуда C1 =C2 =C , где C произвольно.

Все эти решения согласно (7.11) определяются формулой y(x) = −6Cx +12Cx2 +1−2x = C3 x − 2C3 x2 +1−2x .

Пример 7.4. Исследовать на разрешимость при различных значениях параметра λ интегральное уравнение

y(x) −λ ∫π cos (x +t) y(t) dt = cos 3x .

Решение. Отметим, что ядро

K (x, t) = cos (x +t) =cos x cost −sin xsin t

является одновременно и		симметричным и вырожденным, где
p1 (x) =cos x , q1 (t) =cost ,		p2 (x) = −sin x ,	q2 (t) =sin t .
Запишем интегральное уравнение в следующем виде:
y(x) = λcos x ∫π	cost y(t) dt −λsin x ∫π sin t y(t) dt +cos 3x .
0		0
Обозначим
C1 = ∫π	cost y(t) dt , C2 = ∫π		sin t y(t) dt .
0		0

Тогда интегральное уравнение запишется следующим образом:

y(x) =C1λcos x −C2λsin x +cos3x . (7.13)

Подставим (7.13) в выражения для C1 и C2 и получим систему уравнений:

= ∫ cost (C1λcost −C2λsin t + cos3t) dt;

= ∫π

sin t (C1λcost −C2λsin t +cos 3t) dt,

или

= 0;

C1 1 −λ

(7.14)

+λ

= 0.

C2 1

Вычислим определитель

системы уравнений (7.14):

1 −λ

= 1−λ

1+ λ

1. Если λ ≠ ± π2 , то система уравнений (7.14) имеет единствен-

ное решение: C1 =0 , C2 = 0 . Поэтому исходное неоднородное интегральное уравнение имеет единственное решение y(x) =cos3x , а соответствующее однородное уравнение

y(x) −λ ∫π cos (x +t) y(t) dt = 0

имеет только нулевое решение (λ не является характеристическим числом, 1-й случай альтернативы Фредгольма).

2. Если λ = λ1 = π2 , то система уравнений (7.14) принимает вид

C1 0 = 0;

C2 0 = 0,

откуда C1 произвольно, C2 = 0 .

Исходное неоднородное интегральное уравнение имеет бесконечное множество решений, которые определяются формулой:

y(x) = C1λ cos x + cos3x = C1 π2 cos x +cos3x = C cos x +cos3x .

Отметим, что	правая часть	f (x) = cos3x ортогональна к
p1 (x) =cos x и p2 (x) = −sin x , так как
∫π	cos3t cost dt = 0 ,	∫π	cos 3t sin t dt = 0 .
0		0

Соответствующее однородное интегральное уравнение имеет бесконечное множество решений, которые определяются формулой:

y(x) = C1λ cos x = C1 π2 cos x = C3 cos x

( λ1 является характеристическим числом, 2-й случай альтернативы Фредгольма).

3. Если λ = λ2 = − π2 , то система уравнений (7.14) принимает вид

C1 2 = 0;

C2 0 = 0,

откуда C1 =0 , C2 произвольно.

Источник: https://studfile.net/preview/16708714/

Смотрите также:



_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога
"Их невинная наложница "