Материал: Сумин Интегралные уравнения Фредголма и Волтерра 2016

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Заметим, что z(0) =1, поэтому C =1. Таким образом, решение исходного уравнения имеет вид

y(x) = x z(x) = xex3 /3 .

Пример 10.2. Решить интегральное уравнение y(x) = sin x + ∫x sin (x −t) y(t) dt .

Дважды продифференцируем данное уравнение. С учетом (10.1) получим

			x
	′	(x) = cos x + ∫ cos (x −t) y(t) dt		,
	y	(x) = cos x + ∫ cos (x −t) y(t) dt		,
			0
			x
′′	(x) = −sin x + y(x) − ∫ sin (x −t) y(t) dt .
y	(x) = −sin x + y(x) − ∫ sin (x −t) y(t) dt .
			0	′′
Исключая из полученных выражений для y(x) , y				′′	интеграл
Исключая из полученных выражений для y(x) , y				(x)	интеграл
		∫x	sin (x −t) y(t) dt ,
		0

получим обыкновенное дифференциальное уравнение y′′= 0 . Отсюда y(x) =C1 x +C2 . Из выражений для y(x) , y′(x) вытекают следующие начальные условия: y(0) = 0 , y′(0) =1 . Решением данной задачи Коши

y′′(x) = 0;
	= 0,	′	(0)	=1
y(0)		y

будет функция y(x) = x .

§ 11. Итерированные ядра. Построение резольвенты уравнения Вольтерра

с помощью итерированных ядер. Решение уравнений с помощью резольвенты

Если в методе последовательных приближений для интегрального уравнения Вольтерра (8.1) выбрать в качестве нулевого при-

ближения y0 (x) = f (x) , то по аналогии с уравнением Фредгольма для n-го приближения можно получить формулу

	n	x
yn (x) = f (x) + ∑		λm+1 ∫ Km (x, t) f (t) dt =
	m=0	a
x	n
= f (x) + λ ∫	∑ λm Km (x, t) f (t) dt .		(11.1)

am=0

Вформуле (11.1) функции Km (x, t) , называемые итерированными ядрами, определяются следующим рекуррентным соотношением:

Km (x, t) = ∫x	K (x, s) Km−1 (s, t) ds ,	(11.2)
t

m = 1, 2, 3, … . Здесь K0 (x, t) = K (x, t) . Резольвента интегрального уравнения (8.1) (или резольвента ядра K (x, t) ) определяется формулой

∞
R(x, t, λ) = ∑ λm Km (x, t) .	(11.3)

m=0

Указанный ряд в случае непрерывного ядра сходится абсолютно и равномерно. В этом случае решение интегрального уравнения Вольтерра (8.1) может быть найдено по формуле

y(x) = f (x) + λ ∫x	R(x, t, λ) f (t) dt .	(11.4)
a

Пример 11.1. Построить резольвенту для интегрального уравнения

y(x) = ex2 + ∫ ex2 −t2 y(t) dt .

С помощью построенной резольвенты найти решение данного интегрального уравнения.

Решение. Запишем последовательность итерированных ядер. Имеем

K0 (x, t) = ex2 −t2 ,

K1 (x, t) = ∫x	K(x, s) K0 (s, t) ds = ∫x	ex2 −s2 es2 −t2 ds =
t	t

= ex2 −t2 ∫ ds = ex2 −t2 (x −t) .

Отметим, что при нахождении итерированных ядер уравнения Вольтерра интегрирование ведется не от a до x (в условии примера a = 0), а от t до x. Далее

K2 (x, t) = ∫x

K (x, s) K1 (s, t) ds = ∫x

ex2 −s2 es2 −t2 (s −t) ds =

= ex2 −t2 ∫x

(s −t) ds = ex2 −t2

(x −t)2

=ex2 −t2

(x −t)2

K3 (x, t) = ∫x

K (x, s) K2 (s, t) ds =

= ∫x

ex2 −s2 es2 −t2

(s −t)2

ds = ex2 −t2 ∫x

(s −t)2

ds =

= ex2 −t2

(x −t)3

= ex2 −t2

(x −t)3

…,

Kn (x, t) = ∫x

K(x, s) Kn−1 (s, t) ds = ex2 −t2

(x −t)n

Таким образом, согласно определению (11.3) имеем

∞

(x −t)

R(x, t, λ) = ∑ λn Kn (x, t) = ∑ λn ex

2 −t2

n=0

∞

−t)

= ex2 −t2 ∑ λn

= ex2 −t2

eλ( x−t ) .

n=0

В данном уравнении λ =1, поэтому R(x, t,1) = ex2 −t2 ex−t . Решение

данного интегрального уравнения определяется формулой (11.4), согласно которой получаем

y(x) = f (x) + ∫x	R(x, t,1) f (t) dt = ex2 + ∫x	ex2 −t2 ex−t et2 dt =
0	0

= ex2 + ex+x2 ∫ e−t dt = ex2 −ex+x2 (e−x −1) = ex+x2 .

Пример 11.2. Решить интегральное уравнение y(x) = ∫x (x −t) y(t) dt + x2 .

Решим данное интегральное уравнение тремя способами: 1) с помощью резольвенты; 2) методом последовательных приближений; 3) методом сведения интегрального уравнения к обыкновенному дифференцильному уравнению.

1-й способ. Запишем последовательность итерированных ядер:

K0 (x, t) = x −t ,

K1 (x, t) = ∫x

K (x, s) K0 (s, t) ds = ∫x

(x − s) (s −t) ds =

(x −t)3

K2 (x, t) = ∫x

K (x, s) K1 (s, t) ds =

= ∫x

(x − s)

(s −t)3

ds =

(x −t)5

K3 (x, t) = ∫x

K (x, s) K2 (s, t) ds = ∫x

(x − s)

(s −t)5

ds =

(x −t)7

…,

Kn (x, t) = ∫x

K (x, s) Kn−1

(s, t) ds

(x −t)2n+1

(2n +1)!

Таким образом, согласно (11.3)


			∞		∞	(x −t)		2n+1
	R(x, t, λ) = ∑			λn Kn (x, t) = ∑ λn		(x −t)			=
	R(x, t, λ) = ∑			λn Kn (x, t) = ∑ λn		(2n +		1)!	=
			n=0		n=0	(2n +		1)!
∞		λ (x −t)	2n+1	∞	λ(x −t) 2n+1
= ∑ λn		λ (x −t)		= ∑			= sh [ λ (x −t)] .
= ∑ λn		λ (2n +1)!		= ∑			= sh [ λ (x −t)] .
n=0		λ (2n +1)!		n=0	λ(2n +1)!				λ

В данном уравнении λ =1, поэтому R(x, t,1) =sh (x −t) .

Решение данного интегрального уравнения определяется фор-

мулой (11.4):

y(x) = f (x) + ∫x		R(x, t, 1) f (t) dt =
	0
= x2 + ∫x	sh (x −t) t2 dt = 2 (ch x −1) .
0
2-й способ. В качестве		нулевого приближения возьмем

y0 (x) = 0 . Строим по формуле (9.1) последовательность функций

{yn (x)} :

y1 (x) = f (x) + ∫x

K (x, t) y0 (t) dt = x2 ,

y2 (x) = f (x) + ∫x

K (x, t) y1 (t) dt =

= x2 + ∫x

(x −t) t2 dt = x2 +

−

= x2

y3 (x) = f (x) + ∫x

K(x, t) y2 (t) dt =

= x

+ ∫ (x −t) t

dt = x

360

…,

Источник: https://studfile.net/preview/16708714/

Смотрите также:



_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога
"Их невинная наложница "