Материал: Сумин Интегралные уравнения Фредголма и Волтерра 2016

Так как 1−λ ≠ 0 , то cos (π 1−λ)= 0 , т.е.

уравнений (6.6) принимает вид

C1 0 +C2 = 0;

C2 = 0,

отсюда С2 = 0 , C1 =C , где C произвольно. Значит, исходное инте-

гральное уравнение имеет бесконечно много решений, определяемых формулой (6.5):

Итак, характеристические числа и собственные функции данного интегрального уравнения имеют вид

Рассмотрим неоднородное интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода (1.1) с симметричным ядром. Если функция f (x) непре-

рывна на [a, b] и числовой параметр λ не совпадает с характеристическими числами λn (n = 1, 2, …) соответствующего однород-

ного уравнения, то неоднородное уравнение (1.1) имеет единственное решение

где yn (x) – собственные функции соответствующего однородного уравнения,

31

причем ряд, стоящий в правой части формулы (6.7), сходится абсолютно и равномерно на [a, b] .

Если же параметр λ совпадает с одним из характеристических чисел, например λ = λ1 ранга q (т.е. λ1 отвечает q л.н.з. (линейно независимых) собственных функций y1 (x) , y2 (x) , …, yq (x) ), то

неоднородное уравнение (1.1), вообще говоря, не имеет решений. Решения существуют, когда выполняются q условий

т.е. когда функция f (x) ортогональна ко всем собственным функциям y1 (x) , y2 (x) , …, yq (x) , принадлежащим характеристическо-

му числу λ1 . В этом случае неоднородное уравнение имеет бесконечно много решений

y(x) = f (x) +C1 y1 (x) +C2 y2 (x) +... +Cq yq (x) −

(x +1)t, 0 ≤ x ≤ t;

K (x, t) =

(t +1)x, t ≤ x ≤1.

Решение. Соответствующее однородное уравнение запишем в следующем виде

32

Дифференцируя уравнение (6.11), получаем

Повторное дифференцирование с учетом (6.11) дает y′′(x) =λ (x +1) y(x) −λxy(x) =λy(x) .

Из равенств (6.11) и (6.12) получаем, что y(0) = y′(0) , y(1) = y′(1) .

Итак, исходное интегральное уравнение сведено к следующей краевой задаче

Здесь возможны два случая.

Случай 1. Пусть λ = μ2 > 0 (считаем, что μ > 0 ). Уравнение

(6.13) принимает вид

y′′(x) −μ2 y(x) = 0 ,

откуда получаем общее решение

y(x) =C1 ch μx +C2 sh μx .

Тогда

y′(x) =C1μsh μx +C2μch μx .

Краевые условия (6.14) дают следующую систему уравнений

C1 = μC2 ,

C1 ch μ+C2 sh μ = C1μsh μ+C2μch μ,

C1 = μC2 ,

(C1 −μC2 ) ch μ = (μC1 −C2 )sh μ,

или

C1 = μC2 ,

(μ2 −1)C2 sh μ = 0.

С учетом того, что μ > 0 (sh μ ≠ 0 ), получаем систему уравнений

33

C1 = μC2 ,

(μ2 −1)C2 = 0,

которая при μ2 ≠1 имеет единственное решение C1 =0 , C2 = 0 .

Значит, в этой ситуации интегральное уравнение имеет тривиальное решение y(x) ≡ 0 .

Пусть λ = λ0 = μ2 =1 , т.е. μ =1. Уравнение (6.13) принимает вид

Тогда

y′(x) = −C1μ sin μx +C2μ cosμx .

Краевые условия (6.14) дают следующую систему уравнений

Так как система (6.16) – однородная, то она будет иметь ненулевое решение, только если основной определитель данной системы равен нулю:

34

уравнение имеет бесконечно много решений, определяемых формулой:

y(x) =C (sin nπx + nπcos nπx) , n = 1, 2, … .

Итак, характеристические числа и собственные функции данного интегрального уравнения имеют вид

λ0 =1 , y0 (x) = ex ,

λn = −n2 π2 , yn (x) =sin nπx + nπcos nπx , n = 1, 2, … .

1. Если λ ≠1 и λ ≠ −n2 π2 (n = 1, 2, …), то исходное неоднородное уравнение имеет единственное решение, которое будет определяться по формуле (6.7):

y(x) = cos πx −

35