Материал: Тема-2
26 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Поэтому нелинейные модели, по возможности, стараются линеаризовать и привести к виду.
Частными случаями уравнения линейной регрессии являются:
•полиномиальная регрессия, когда
|
x x |
j |
j 0,1,...m |
|
|||
j |
|
|
|
и её разновидности – линейная регрессия от одной переменной (m = 1):
y a |
|
a x |
ˆ |
0 |
1 |
|
и параболическая регрессия (m = 2):
yˆ a0 a1 x a2 x2
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
27 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
•трансцендентная регрессия и её разновидности в виде зависимости
показательного типа: |
yˆ a a |
x |
|
|
|
|
|||
|
0 |
1 |
|
|
которая линеаризуется логарифмически: |
|
ln yˆ ln a |
x ln a |
|
|
|
|
0 |
1 |
|
y a0 x |
a1 |
|
|
и дробно-показательного типа: |
ˆ |
|
|
|
которая также линеаризуется логарифмически:
ˆ |
|
a ln x |
ln y ln a |
||
|
0 |
1 |
•множественная регрессия, когда число входных переменных больше 1:
yˆ a0 a1x1 ... am xm x0 1
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
28 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
3.2. Определение коэффициентов регрессии – параметров эмпирических моделей (первый этап регрессионного анализа)
В соответствии с методологией регрессионного анализа в этом случае решается задача аппроксимации экспериментальных данных методом наименьших квадратов (МНК)
Для случая регрессии от одной переменной х графическая интерпретация МНК:
Y |
|
|
ynp |
||
y |
э |
|
n |
||
|
||
y |
э |
|
1 |
||
y1p
x1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
xn
X
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
29 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
При этом эксперимент проводится с использованием следующей таблицы:
n
1
2
n
p
x
x1
x |
2 |
|
xn
y |
э |
||
|
|
||
y |
э |
||
|
|||
|
1 |
||
y |
э |
||
2 |
|||
|
|||
ynэ
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
30 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Критерий МНК имеет вид:
где
y |
p |
|
i |
||
|
и
|
|
|
n |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
i |
i |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Cr |
|
y |
p |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y |
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
определяются при одном и том же значении элементов вектора |
|||||||||
i |
|||||||||
|
|||||||||
xi i 1,...n
n – общее число опытов (объём выборки).
Согласно приближенному уравнению регрессии yip yˆi , поэтому критерий МНК также является функцией многих переменных от параметров
a a |
, a ,...a |
T |
|
|
|||
0 |
1 |
m |
|
Cr Cr a0 , a1 ,...am
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |