Материал: Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Горбунов В.В., Соколова О.А

ниченной прямыми у=0, у=1 и изображен на рис.1. График функции распределения дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид.

Непрерывную случайную величину можно задать, используя кроме функции распределения F(x), функцию, назы-

ваемую плотностью распределения или плотностью вероятности.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x):

f(x)= F x .

Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b :

Геометрически полученный результат можно истолковать так: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, кривой распределения f(x) и прямыми x=a и x=b.

Пример 6. Задана плотность распределения вероятности случайной величины Х

46

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0,5; 1).

Решение: Искомая вероятность

1

P 0,5 X 1 2 xdx x2 10,5 1 0,25 0,75.

0,5

Зная плотность распределения f(x), можно найти функцию распределения F(x) по формуле

x

F(x)= f x dx ,

а, зная функцию распределения, может быть найдена плотность распределения, а именно:

f(x)= Fx .

Пример 7. Найти функцию распределения по данной плотноcти распределения:

47

Итак, искомая функция распределения равна

Рассмотрим свойства плотности распределения.

Свойство 1. Плотность распределения – неотрицательная функция:

f(x) 0 .

Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от до равен единице:

f x dx =1.

Геометрически это означает, что вся площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох и кривой распределения, равна единице.

В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b), то

b

f x dx =1.

a

2.8. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называют определенный интеграл

b

М(х)= xf x dx .

a

48

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения. Если возможные значения Х принадлежат отрезку [a,b], то

b

D x [x M X ]2 f x dx .

a

Среднее квадратическое отклонение непрерывной слу-

чайной величины определяется, как и для величины дискретной

а, функцию распределения случайной величины, математическое ожидание М [X], дисперсию D [X], вероятность выполнения неравенства 0 < х < 3.

т.к. при x [2,4] плотность распределения равна нулю, то

2

Функция распределения связана с функцией плотности соотношением

Математическое ожидание М [Х] и дисперсию D [Х] определим по формулам

49

2

Вероятность выполнения неравенства 0 < х < 3 определим по формуле

3

Р( 0 < х < 3)= f x dx F(3) - F(0) =1/2 - 0 =1/2.

0

2.9. Нормальное распределение

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

Здесь a - математическое ожидание, - среднее квадратическое отклонение нормального распределения. Достаточно знать эти два параметра, чтобы задать нормальное распределе-

ние. График плотности нормального распределения называют

50