Материал: Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Горбунов В.В., Соколова О.А

Эти значения отделены одно от другого промежутками, в которых нет возможных значений X. Таким образом, в этом примере случайная величина принимает отдельные, изолированные возможные значения. Во втором примере случайная величина могла принять любое из значений промежутка (а, в). Здесь нельзя отделить одно возможное значение от другого промежутком, не содержащим возможных значений случайной величины.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Будем далее обозначать случайные величины прописными буквами X, Y, Z, а их возможные значения - соответствующими строчными буквами х, у, z. Например, если случайная величина X имеет три возможных значения, то они будут обозначены так:

x1, x2, х3.

2.2. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины

Для описания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать их вероятности.

Законом распределения дискретной случайной величины

называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями. Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан таблично,

36

аналитически и графически.

При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая — их вероятности:

X xl х2 . . . хп

Рр1 р2 рп

Приняв во внимание, что в одном испытании случайная величина принимаетодно и только одно возможное значение, заключаем, что события X = xl, X = x2, . . ., X =хп образуют полную группу; следовательно, сумма вероятностей этих событий, т. е. сумма вероятностей второй строки таблицы, равна единице, т.е.

p1 p2 ... pn 1.

Пример 1. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 руб. и десять выигрышей по 1 руб. Найти закон распределения случайной величины X — стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Р е ш е н и е : Напишем возможные значения случайной величины X: х1 = 50, x2= 1, х3 = 0. Вероятности этих возможных значений таковы:

р1 = 0,01. р2 = 0,1, p3= l-(p1 + p2) = 0.89.

Тогда искомый закон распределения имеет вид

X50 10 ... 0

Р0,01 0,1 0,89

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (xi, рi), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называ-

37

ют многоугольником распределения.

2.3. Биномиальное распределение

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью р, либо не появиться с вероятностью q=1-р. Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины X число появлений события А в этих испытаниях.

Необходимо найти закон распределения величины X. Для решения такой задачи требуется определить возможные значения X и их вероятности. Событие А в п испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, . . . , либо п раз. Таким образом, возможные значения X таковы: х1 = 0, x 2 = l , x3 = 2, . . . , хп+1 = п. Вероятности этих возможных значений, находятся по формуле Бернулли (4). Она является аналитическим выражением искомого закона распределения.

Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли.

Напишем биномиальный закон в виде таблицы:

Пример 2. Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины X — числа выпадений герба.

Р е ш е н и е : Вероятность появления герба в каждом бросании монеты равна р=1/2, следовательно, вероятность не появле-

ния герба q=1 – 1/2=1/2.

При двух бросаниях монеты герб может появиться либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. Таким образом, возможные значения Х таковы: х1 = 2, x 2 = l , x3 =0. Найдем веро-

38

ятности этих возможных значений по формуле Бернулли:

Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли:

Р2(2)=С22 р2=(1/2)2=0,25, Р2(1)= С12рq= 2 1/ 21/ 2 =0,5,

Р2(0)= С02q2=(1/2)2=0,25.

Напишем искомый закон распределения:

р0,25 0,5 0,25.

Контроль: 0,25 + 0,5+0,25=1.

2.4. Числовые характеристики дискретных случайных величин. Математическое ожидание дискретной случайной величины

Как уже известно, закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Приходится пользоваться числовыми характеристиками случайной величины, т.е. числами, которые описывают случайную величину суммарно. К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.

Математическое ожидание, приближенно равно среднему значению случайной величины. Хотя математическое ожидание дает о случайной величине значительно меньше сведений, чем закон ее распределения, но для решения многих задач знание математического ожидания оказывается достаточным.

Математическим ожиданием дискретной случайной вели-

чины называют сумму произведений всех ее возможных значе-

39

ний на их вероятности.

Пусть случайная величина X может принимать только значения xl, х2, . . ., хп, вероятности которых соответственно равны р1, р2, . . ., рп.. Тогда математическое ожидание М (X) случайной величины X определяется равенством

М (X) = х1 р1 + х2 р2 + . . . + хп рп.

Следует отметить, что математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.

Пример 3. Найти математическое ожидание случайной величины X, зная закон ее распределения:

р0,1 0,6 0,3.

Решение. Искомое математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности:

М(Х)= 30,1 50,6 2 0,3 =3,9.

Математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины, т.е. на числовой оси возможные значения расположены слева и справа от математического ожидания. Математическое ожидание характеризует положение центра распределения, и поэтому его часто называют центром распределения.

Рассмотрим свойства математического ожидания.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М (СХ) = СМ (X).

40