Материал: Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Горбунов В.В., Соколова О.А

нормальной кривой (кривой Гаусса) (рис. 2, 3).

С возрастанием максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т.е. сжимается к оси Ох; при убывании нормальная кривая становится более «островершинной» и растягивается в положительном направлении оси Оу (рис. 3).

2.10. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины

Как было сказано ранее, если случайная величина Х задана плотностью распределения f(x), то вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу , , такова:

Пусть случайная величина Х распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу , , равна

Преобразовав эту формулу так, чтобы можно было пользоваться готовыми таблицами, окончательно получаем формулу для вычисления вероятности того, что непрерывная случайная величина, распределенная по нормальному закону, примет

51

Пример 9. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (10, 50).

Решение: Воспользуемся формулой (8). По условию,

По таблице находим Ф(2)=0,4772. Отсюда, искомая вероятность

P 10 X 50 2 0,4772 0,9544.

Если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, то можно использовать правило трех сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения. Если это условие выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.

52

Вопросы для самопроверки

1.Дайте классическое определение вероятности. В чем состоит различие между вероятностью и относительной частотой?

2.Дайте определение условной вероятности. Какие события называют независимыми?

3.Дайте определение произведения событий.

4.Запишите формулу полной вероятности, формулу Бейеса, формулу Бернулли. Сформулируйте локальную теорему Лапласа, интегральную теорему Лапласа, теорему Пуассона. Когда применяются эти теоремы?

5.Дайте определение случайной величины. Приведите примеры.

6.Дайте определение функции распределения случайной величины. Каковы ее свойства?

7.Дайте определение плотности распределения вероятностей. Каковы ее свойства?

8.Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал, если она распределена по нормальному закону?

9.Дайте определение математического ожидания случайной величины. Каковы его свойства?

10.Дайте определение дисперсии случайной величины. Каковы ее свойства?

11.Дайте определение среднего квадратического отклонения случайной величины и укажите его преимущества по сравнению с дисперсией.

53

Задачи для самостоятельного решения

1. В ящике имеется 50 одинаковых деталей, из них 5 окрашенных. Наудачу вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что извлеченная деталь окажется окрашенной.

Ответ. р = 0,1.

2. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет четное число очков.

Ответ. р = 0,5.

3. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5.

Ответ. р = 0,81.

4. В мешочке имеется 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: о, п, р, с, т. Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных «в одну линию» кубиков можно будет прочесть слово «спорт».

Ответ. р = 1/120.

5. В партии из 100 деталей отдел технического контроля обнаружил 5 нестандартных деталей. Чему равна относительная частота появления нестандартных деталей?

Ответ. р = 0,05.

54

6. В денежно-вещевой лотерее на каждые 10000 билетов разыгрывается 150 вещевых и 50 денежных выигрышей. Чему равна вероятность выигрыша, безразлично денежного или вещевого, для владельца одного лотерейного билета?

Ответ. р = 0,02.

7. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет 10 очков, равна 0,1; вероятность выбить 9 очков равна 0,3; вероятность выбить 8 или меньше очков равна 0,6. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет не менее 9 очков.

Ответ. р = 0,4.

8. В партии из 10 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 2 деталей есть хотя бы одна стандартная.

Ответ. р = 44/45.

9. В ящике 10 деталей, среди которых 2 нестандартных. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных 6 деталях окажется не более одной нестандартной детали.

Ответ. р = 2/3.

10. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадает в мишень, равна р = 0,9. Стрелок произвел 3 выстрела. Найти вероятность того, что все 3 выстрела дали попадание.

Ответ. 0,729.

55