Материал: Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Горбунов В.В., Соколова О.А

II. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

1. Основные задачи математической статистики

Разработка методов регистрации, описания и анализа статистических данных, получаемых в результате наблюдения массовых случайных явлений, составляет предмет специаль-

ной науки - математической статистики.

Рассмотрим типичные задачи математической статистики, часто встречаемые на практике.

1.Задача определения закона распределения случайной величины по статистическим данным.

При обработке большого объема статистических данных часто возникает вопрос об определении законов распределения тех или иных случайных величин. Поскольку на практике приходится иметь дело с ограниченным количеством экспериментальных данных, то результаты наблюдений и обработки всегда содержат элемент случайности. Тогда возникает вопрос о том, какие черты наблюдаемого явления относятся к постоянным, действительно присущим ему, а какие являются случайными и проявляются только за счет ограничения экспериментальных данных. Поэтому к методике обработки данных необходимо предъявлять такие требования, чтобы она сохраняла все типичные черты явления и отбрасывала все второстепенные, несущественные, связанные с ограниченным объемом опытного материала. В связи с этим возникает задача сглаживания или выравнивания статистических данных.

2. Задача проверки правдоподобия гипотез.

Эта задача тесно связана с предыдущей. Так как статистический материал всегда ограничен, то выявляющиеся в нем статистические закономерности не лишены случайностей и статистический материал может лишь с большим или с мень-

61

шим правдоподобием подтверждать или не подтверждать справедливость той или иной гипотезы.

3.Задача нахождения неизвестных параметров распределения.

Часто при обработке экспериментальных данных возникает вопрос ни об определении законов распределения случайных величин, (характер закона распределения качественно известен до опыта), а требуется определить некоторые параметры (числовые характеристики) случайной величины. При небольшом числе опытов такая задача не может быть определена точно, как экспериментальный материал, а соответственно и все его параметры содержат элемент случайности. Поэтому может ставиться задача лишь об определении «оценок» или «подходящих значений» для искомых параметров, то есть таких приближенных значений, которые при массовом применении приводили бы в среднем к меньшим ошибкам, чем всякие другие.

2. Статистический ряд. Гистограмма.

Пусть изучается некоторая случайная величина X, закон распределения которой в точности неизвестен, и требуется определить этот закон из опыта или проверить экспериментально гипотезу о том, что величина X подчинена тому или иному закону. С этой целью над величиной X проводится ряд независимых опытов (наблюдений). В каждом из этих опытов случайная величина X принимает определенное значение. Совокупность наблюдаемых значений величины представляет собой первичный статистический материал, подлежащий обработке. Такая совокупность называется «простой статистической совокупностью» или «простым статистическим рядом». Одним из способов обработки простого статистического ряда является построение статистической функции распределения

62

случайной величины.

Статистической функцией распределения случайной ве-

личины X называется частота события X < x в данном статистическом материале

F * x P* X x .

Для того чтобы найти значение статистической функции распределения при данном x, достаточно подсчитать число опытов, в которых величина X приняла значение, меньшее, чем x, и разделить на общее число n проведенных опытов.

Статистическая функция распределения любой случайной величины – прерывной или непрерывной – представляет собой прерывную ступенчатую функцию, скачки которой соответствуют наблюдаемым значения случайной величины и по величине равны частотам этих значений.

При увеличении числа опытов n статистическая функция распределения F * x приближается к подлинной функции распределения F x случайной величины X.

Построение статистической функции распределения уже решает задачу описания экспериментального материала. Однако при большом числе опытов простая статистическая совокупность перестает быть удобной формой записи статистического материала, становится слишком громоздкой и мало наглядной. Статистический материал должен быть подвергнут дополнительной обработке – строится так называемый «статистический ряд». Весь диапазон наблюдаемых значений X делится на интервалы или «разряды» и подсчитывается количество значений mi , приходящееся на каждый i-й разряд. Это

число делится на общее число наблюдений n и находится частота, соответствующая данному разряду:

Pi* mni .

63

Сумма частот всех разрядов равна единице.

Таблица, в которой приведены разряды в порядке их расположения вдоль оси абсцисс и соответствующие частоты на-

зывается статистическим рядом:

Значение, находящееся в точности на границе двух разрядов считают в равной степени принадлежащем к обоим разрядам и прибавляют к числам mi того и другого разряда по ½.

Число разрядов, на которые следует группировать статистический материал не должно быть слишком большим, (ряд становится невыразительным) и слишком маленьким (свойства распределения описываются слишком грубо). Рационально выбирать число разрядов 10 - 20. Длины разрядов могут быть как одинаковыми, так и разными.

Статистический ряд часто оформляется в виде так называемой гистограммы. Гистограмма строится следующим образом. По оси абсцисс откладываются разряды, и на каждом из разрядов как на основании строится прямоугольник, площадь которого равна частоте данного разряда. В качестве высоты прямоугольника берется частота разряда, деленная на его длину. В случае равных по длине разрядов высоты прямоугольников пропорциональны соответствующим частотам. Полная площадь гистограммы равна единице.

При увеличении числа опытов можно выбирать все более и более мелкие разряды; при этом гистограмма будет все более приближаться к некоторой кривой, ограничивающей площадь, равную единице. Эта кривая представляет собой график плотности распределения величины Х.

64

3. Числовые характеристики статистического распределения

Ранее мы рассмотрели числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание и дисперсию. Аналогичные числовые характеристики существуют и для статистических распределений. Каждой случайной величине Х соответствует ее статистическая аналогия. Для математического ожидания случайной величины такой аналогией является среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины:

n

xi

где xi – значение случайной величины, наблюдаемое в i–м опыте, n - число опытов. В дальнейшем эту характеристику будем называть статистическим средним случайной величины.

При неограниченном числе опытов статистическое среднее приближается к математическому ожиданию. При ограниченном числе опытов статистическое среднее является случайной величиной, которая, тем не менее, связана с математическим ожиданием и может дать о нем представление. В дальнейшем статистические аналогии будем снабжать значком *.

Статистическая дисперсия случайной величины Х:

В ряде руководств по математической статистике статистическое среднее именуется «выборочным средним», а стати-

65